Tests sur une moyenne théorique, Alternatives 1a et 1b.

7.5.1.a. Tests asymptotiques sur une moyenne théorique - Contre-hypothèses unilatérales.

Nous présentons ici des tests asymptotiques pour les Alternatives 1.a et les Alternatives 1.b concernant la moyenne théorique d’une v.a. de loi inconnue. Nous utilisons, comme pour l’estimation d’une moyenne théorique, des méthodes asymptotiques générales, forcément approximatives. Nous supposerons donc que \(n\) est supérieur à \(50\). Les différents risques et valeurs critiques sont établis pour \(n\rightarrow+\infty\) ; ces résultats devront être interprétés avec réserve. Deux exemples sont donnés.

Propriété 1. Considérons une v.a. \(X\) dont la loi est inconnue. Nous supposons qu’elle admet une variance théorique, \({\mathbb V}ar\lbrack X\rbrack=\sigma^2 < \infty\), et donc également une moyenne théorique, \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\mu\). Soit \(X_{\bullet}=(X_1,\ \cdots,\ X_n)\) un \(n\)-échantillon de \(X\). Nous considérons les statistiques :

\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nX_j,\quad S_c^2(X_{\bullet}) = \frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n(X_j-\overline{X})^2,\)

moyenne et variance corrigée empiriques. Nous avons les résultats suivants :

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} {\cal L}_{\mu, \sigma}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)={\cal N}(0\ ;\ 1),\ \) c’est-à-dire \(\ \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}P_{\mu, \sigma}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\leq t\right)=\Phi(t),\ \forall t\in {\mathbb R}\).
\(S_c(X_{\bullet})\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}\sigma\).
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} {\cal L}_{\mu}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{S_c(X_{\bullet})}\right)={\cal N}(0\ ;\ 1)\).

Nous avons noté \({\cal N}(0\ ;\ 1)\) la loi Normale Standard et \(\Phi\) sa f.r..

Nos résultats sont fondés sur la condition d’existence de \(\sigma^2\), la Propriété 3 de l’estimation d’une moyenne théorique, le T.L.C. et la loi Faible des Grands Nombres.\(\ \square\)

Alternative 1a.

Soit \(\mu_0\in{\mathbb R}\) donné et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Pour tester l’alternative :

\({\cal H}_0^{(1a)}=\lbrace\mu\leq\mu_0\rbrace\quad\) contre \(\quad{\cal H}_1^{(1a)}=\lbrace \mu_0 < \mu\rbrace\),

ainsi que les autres Alternatives 1a associées, nous considérons le test asymptotique \(\psi^{(1a)}_{\infty}(x_{\bullet})=I_{\rbrack c\ ;\ +\infty\lbrack}(\overline{x})\), avec \( c=\mu_0+q_{1-\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) ; le nombre \(q_{1-\alpha}\) est le quantile d’ordre \(1-\alpha\) de la loi \({\cal N}(0\ ;\ 1)\). Ainsi en théorie :

si \(c < \overline{x}\), alors nous décidons «\({\cal H}_1^{(1a)}\) est vraie» ;
si \(\overline{x} \leq c\), alors nous décidons «\({\cal H}_0^{(1a)}\) est vraie».

En général l’écart type \(\sigma\) est inconnu ; nous l’estimons par l’estimateur convergent \(S_c(X_{\bullet})\). Le nombre \(c\) peut alors être estimé par \(\widehat{c}(x_{\bullet})=\mu_0+q_{1-\alpha}\displaystyle\frac{S_c(x_{\bullet})}{\sqrt{n}}\). Ainsi en pratique :

si \(\widehat{c}(x_{\bullet}) < \overline{x}\), alors nous décidons «\({\cal H}_1^{(1a)}\) est vraie» ;
si \(\overline{x} \leq \widehat{c}(x_{\bullet})\), alors nous décidons «\({\cal H}_0^{(1a)}\) est vraie».

Remarque 1. Si pour l’utilisateur décider à tort que la moyenne théorique d’une v.a. de loi inconnue est plus grande qu’une valeur fixée a les conséquences les plus défavorables, c’est sur ce test \(\psi^{(1a)}_{\infty}(X_{\bullet})\) qu’il doit fonder sa démarche. Ce test \(\psi^{(1a)}_{\infty}\) au seuil \(\alpha\) est identique au test \(1-\psi^{(1b)}_{\infty}\), présenté ci-après, au seuil \(1-\alpha\). Le choix de l’atternative est donc fondamental.

Propriété 2. Le test \(\psi^{(1a)}_{\infty}\) satisfait à :

Pour tout \(\mu \leq \mu_0\), nous avons \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}{\mathbb E}_{\mu}\lbrack\psi^{(1a)}_{\infty}(X_{\bullet})\rbrack\leq \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} {\mathbb E}_{\mu_0}\lbrack\psi^{(1a)}_{\infty}(X_{\bullet})\rbrack=\alpha\) ; le test est asymptotiquement de seuil \(\alpha\).
Pour tout \(\mu,\ \mu_0 < \mu\), nous avons \(\alpha \leq \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}{\mathbb E}_{\mu}\lbrack\psi^{(1a)}_{\infty}(X_{\bullet})\rbrack\) ; le test est, pour ce seuil, asymptotiquement sans biais.
Une approximation de la fonction puissance asymptotique au point \(\mu\) est donnée par :
\(pu_{\psi^{(1a)}_{\infty}}(\mu)\approx 1-\Phi\left(q_{1-\alpha}+\sqrt{n}\dfrac{\mu_0-\mu}{\sigma}\right)\).
Une estimation convergente de cette approximation est donnée par :
\(\widehat {pu}_{\psi^{(1a)}_{\infty}}(\mu)\approx 1-\Phi\left(q_{1-\alpha}+\sqrt{n}\dfrac{\mu_0-\mu}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\).

Un calcul simple sur la f.r. de la loi Normale Standard et l’appliquation de la Propriété 1 ci-dessus nous donnent ces résultats.\(\ \square\)

Remarque 2. Comme \(\overline X\) est un estimateur sans biais et convergent de \(\mu\), si nous avons observé \({\overline X}={\overline x}\), une estimation de l’approximation de la puissance a posteriori est : \(\widehat{pu}_{\psi^{(1a)}_{\infty}}(\overline x)\approx 1-\Phi\left(q_{1-\alpha}+\sqrt{n}\dfrac{\mu_0-\overline x}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\).

Propriété 3. Si nous avons observé \({\overline X}={\overline x}\), la \(p-\)valeur du test \(\psi^{(1a)}_{\infty}\) est \(p_{val}=1-\Phi\left(\sqrt{n}\dfrac{\overline x-\mu_0}{\sigma}\right)\). Ainsi en théorie :

si \(p_{val} < \alpha\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(1a)}\) est vraie»
si \(\alpha \leq p_{val}\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(1a)}\) est vraie».

Elle peut être estimée par \(\widehat{p}_{val}=1-\Phi\left(\sqrt{n}\dfrac{\overline x-\mu_0}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\). Ainsi en pratique :

si \(\widehat{p}_{val} < \alpha\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(1a)}\) est vraie»
si \(\alpha \leq \widehat{p}_{val}\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(1a)}\) est vraie».

Pour le voir il suffit, en remplaçant \(1-\alpha\) par \(\Phi(q_{1-\alpha})\), de montrer que les inégalités sur la \(p_{val}\) conduisent aux mêmes décisions que celles de la définition de \(\psi^{(1a)}_{\infty}.\ \square\)

Remarque 3. Pour réaliser le test \(\psi^{(1a)}_{\infty}\) nous avons créé dans R la procédure Test1aAsym1Moye. Pour calculer une approximation de la puissance de ce test nous avons créé la procédure Puis1aAsym1Moye.

Exemple 1. Nous considérons l’Exemple 4 des dosages d’une substance dans un échantillon de \(n=150\) flacons. Nous nous proposons de tester l’alternative :

\({\cal H}_0^{(1a)}=\lbrace\mu\leq 573\rbrace\quad\) contre \(\quad{\cal H}_1^{(1a)}=\lbrace 573 < \mu\rbrace\).

Nous ne connaissons pas la loi de la v.a. \(X=\) «quantité de substance mesurée dans un flacon choisi au hasard dans la production». Nous utilisons le test asymptotique. Pour cela nous admettons que cette v.a. \(X\) admet une moyenne et une variance théoriques inconnues. Nous procédons avec R. Nous effectuons les calculs détaillés. Nous avons les caractéristiques suivantes :

mean(Donnees[,1]), réponse : 574.327 et sd(Donnees[,1]), réponse : 3.04.

Nous fixons le seuil à \(1\ \%\). Une estimation de la valeur critique est :

573+qnorm(1-0.01) * sd(Donnees[,1]) / sqrt( length(Donnees[,1])) , réponse : 573.577

La moyenne observée est supérieure à l’estimation de la valeur critique ; nous décidons «\({\cal H}_1^{(1a)}=\lbrace 573 < \mu \rbrace\) est vraie». Les mêmes résultats peuvent s’obtenir avec la procédure de la Remarque 3 ci-dessus. Après l’avoir compilée («sourcée» dans R), nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_0=573\) et le seuil, \(\alpha=0,01\), à utiliser :

Test1aAsym1Moye(Donnees[,1],573,0.01), réponse :
Test asymptotique de l’alternative : H_0^(1a)={ Mu ⩽573 } contre H_1^(1a)={ 573 < Mu }.
Taille de l’échantillon : 150 ; moyenne observée : 574.3 ; écart type observé : 3.04 .
Seuil asymptotique du test : 0.01 ; estimation de la valeur critique : 573.6 .
La \(p-\)valeur est : 4.525e-08 .

Décision : «H_1^(1a)={ Mu > 573 } est vraie».

Le test est significatif, nous pouvons avoir confiance en notre décision. A noter que la puissance a posteriori ne s’affiche que si la moyenne observée est dans \({\cal H}_1^{(1a)}\) et si la décision est «\({\cal H}_0^{(1a)}\) est vraie». Nous pouvons calculer une approximation de la puissance asymptotique de ce test au point \(\mu=574\) par exemple. Après avoir compilé («sourcée» dans R) la procédure correspondante de la Remarque 3 ci-dessus, nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_0=573,\ \mu=574\) et le seuil, \(\alpha=0,01\), à utiliser :

Puis1aAsym1Moye(Donnees[,1],573,0.01,574), réponse : 0.9557.

Nous pouvons également tracer une approximation du graphique de la fonction puissance asymptotique du test avec la commande suivante :

plot( function(Mu) Puis1aAsym1Moye(Donnees[,1],573,0.01,Mu),571,575, xlab="mu",
ylab="pu", ylim=c(0,1), main="Fig. 1. Approximation de la puissance \n asymptotique du test 1a.", col="green4"),
segments( x0=c(573,0,574.3,0), y0=c(0,0.01,0,0.9982), x1=c(573,573,574.3,574.3), y1=c(0.01,0.01,0.9982,0.9982), col="blue"))
points( x=c(573,574.3), y=c(0.01,0.9982), col="red", pch=".", cex=7), réponse :

Nous avons marqué en rouge les points de coordonnées \((\mu_0\ ;\ \alpha)=(573\ ;\ 0,01)\) et \((\overline{x}\ ;\ \widehat{pu}_{\psi^{(1a)}_{\infty}}(\overline{x}))\approx(574,3\ ;\ 0,9982)\). Cette dernière valeur a été obtenue avec la commande Puis1aAsym1Moye (Donnees[,1],573,0.01,574.3) ; réponse : 0.9982. Nous constatons que le test est asymptotiquement de seuil \(0,01\) et sans biais.\(\ \square\)

Alternative 1b.

Soit \(\mu_0\in{\mathbb R}\) donné et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Pour tester l’alternative :

\({\cal H}_0^{(1b)}=\lbrace\mu_0\leq\mu\rbrace\quad\) contre \(\quad{\cal H}_1^{(1b)}=\lbrace \mu < \mu_0\rbrace\),

et les autres Alternatives 1b associées, nous considérons le test asymptotique \(\psi^{(1b)}_{\infty}(x_{\bullet})=I_{\rbrack -\infty\ ;\ c\lbrack}(\overline{x})\), avec \(c=\mu_0+q_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) ; le nombre \(q_{\alpha}\) est le quantile d’ordre \(\alpha\) de la loi \({\cal N}(0\ ;\ 1)\). Ainsi en théorie :

si \(\overline{x} < c\), alors nous décidons «\({\cal H}_1^{(1b)}\) est vraie» ;
si \(c \leq \overline{x}\), alors nous décidons «\({\cal H}_0^{(1b)}\) est vraie».

En général l’écart type \(\sigma\) est inconnu. Nous l’estimons par l’estimateur convergent \(S_c(X_{\bullet})\). Le nombre \(c\) est alors estimé par \(\widehat{c}(x_{\bullet})=\mu_0+q_{\alpha}\displaystyle\frac{S_c(x_{\bullet})}{\sqrt{n}}\). Ainsi en pratique :

si \(\overline{x} < \widehat{c}(x_{\bullet})\), alors nous décidons «\({\cal H}_1^{(1b)}\) est vraie» ;
si \(\widehat{c}(x_{\bullet}) \leq \overline{x}\), alors nous décidons «\({\cal H}_0^{(1b)}\) est vraie».

Remarque 4. Si pour l’utilisateur décider à tort que la moyenne théorique d’une v.a. de loi inconnue est plus petite qu’une valeur fixée a les conséquences les plus défavorables, c’est sur ce test \(\psi^{(1b)}_{\infty}(X_{\bullet})\) qu’il doit fonder sa démarche. Ce test \(\psi^{(1b)}_{\infty}\) au seuil \(\alpha\) est identique au test \(1-\psi^{(1a)}_{\infty}\), présenté ci-avant, au seuil \(1-\alpha\). Le choix de l’atternative est donc fondamental.

Propriété 4. Le test \(\psi^{(1b)}_{\infty}\) satisfait à :

Pour tout \(\mu\), \(\mu_0 \leq \mu\), nous avons \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}{\mathbb E}_{\mu}\lbrack\psi^{(1b)}_{\infty}(X_{\bullet})\rbrack\leq \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}{\mathbb E}_{\mu_0}\lbrack\psi^{(1b)}_{\infty}(X_{\bullet})\rbrack=\alpha\) ; le test est asymptotiquement de seuil \(\alpha\).
Pour tout \(\mu < \mu_0\), nous avons \(\alpha \leq\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}{\mathbb E}_{\mu}\lbrack\psi^{(1b)}_{\infty}(X_{\bullet})\rbrack\) ; le test est, pour ce seuil, asymptotiquement sans biais.
Une approximation de la fonction puissance asymptotique au point \(\mu\) est donnée par :
\(pu_{\psi^{(1b)}_{\infty}}(\mu)\approx \Phi\left(q_{\alpha}+\sqrt{n}\dfrac{\mu_0-\mu}{\sigma}\right)\).
Une estimation convergente de cette approximation est donnée par :
\(\widehat {pu}_{\psi^{(1b)}_{\infty}}(\mu)\approx \Phi\left(q_{\alpha}+\sqrt{n}\dfrac{\mu_0-\mu}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\).

Un calcul simple sur \(\Phi\), f.r. de la loi Normale Standard, et l’appliquation de la Propriété 1 ci-dessus nous donnent ces résultats.\(\ \square\)

Remarque 5. Comme \(\overline X\) est un estimateur sans biais et convergent de \(\mu\), si nous avons observé \({\overline X}={\overline x}\), une estimation de l’approximation de la puissance a posteriori asymptotique est : \(\widehat{pu}_{\psi^{(1b)}_{\infty}}({\overline x})\approx \Phi\left(q_{\alpha}+\sqrt{n}\dfrac{\mu_0-{\overline x}}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\).

Propriété 5. Si nous avons observé \({\overline X}={\overline x}\), la \(p-\)valeur du test \(\psi^{(1b)}_{\infty}\) est \(p_{val}=\Phi\left(\sqrt{n}\dfrac{{\overline x}-\mu_0}{\sigma}\right)\). Ainsi en théorie :

si \(p_{val} < \alpha\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(1b)}\) est vraie»
si \(\alpha \leq p_{val}\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(1b)}\) est vraie».

Elle peut être estimée par \(\widehat{p}_{val}=\Phi\left(\sqrt{n}\dfrac{{\overline x}-\mu_0}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\). Ainsi en pratique :

si \(\widehat{p}_{val} < \alpha\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(1b)}\) est vraie»
si \(\alpha \leq \widehat{p}_{val}\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(1b)}\) est vraie».

Pour le voir il suffit, en remplaçant \(\alpha\) par \(\Phi(q_{\alpha})\), de montrer que les inégalités sur la \(p_{val}\) conduisent aux mêmes décisions que celles de la définition de \(\psi^{(1b)}_{\infty}.\ \square\)

Remarque 6. Pour réaliser le test \(\psi^{(1b)}_{\infty}\) nous avons créé dans R la procédure Test1bAsym1Moye. Pour calculer une approximation de la puissance de ce test nous avons créé la procédure Puis1bAsym1Moye.

Exemple 2. Nous considérons l’Application 2 des Plantes. Nous souhaitons savoir si la moyenne théorique du pourcentage d’azote contenu dans la matière sèche dépasse la valeur de 4,2, quelles que soit les conditions d’observation. Nous testons l’alternative :

\({\cal H}_0^{(1b)}=\lbrace 4,2 \leq \mu\rbrace\quad\) contre \(\quad{\cal H}_1^{(1b)}=\lbrace \mu < 4,2\rbrace\).

Nous ne connaissons pas la loi de la v.a. \(X=\) «pourcentage d’azote contenu dans la matière sèche mesurée dans une plante choisie au hasard». Nous utilisons le test asymptotique. Pour cela nous admettons que cette v.a. \(X\) admet une moyenne et une variance théoriques inconnues. Nous procédons avec R. Nous utilisons la procédure de la Remarque 6 ci-dessus. Après l’avoir compilée («sourcée» dans R), nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_0=4,2\) et le seuil, \(\alpha=0,05\), à utiliser :

Test1bAsym1Moye(DonneesN[,1],4.2,0.05), réponse :
Test asymptotique de l'alternative : H_0^(1b)={ 4.2 ⩽ Mu } contre H_1^(1b)={ Mu < 4.2 }.
Taille de l’échantillon : 81 ; moyenne observée : 4.069 ; écart type observé : 1.197 .
Seuil asymptotique du test : 0.05 ; estimation de la valeur critique : 3.981 .
La \(p-\)valeur est : 0.1616 .

Décision : «H_0^(1b)={ Mu >= 4.2 } est vraie».

La puissance asymptotique a posteriori est : 0.2557

Le test n’est pas significatif. L’approximation de la puissance a posteriori asymptotique, qui ne s’affiche que si la moyenne observée est dans \({\cal H}_1^{(1b)}\) et si la décision est «\({\cal H}_0^{(1b)}\) est vraie», est de 0,2557. Nous ne pouvons pas faire confiance à cette décision. Nous pouvons avoir une approximation de la puissance asymptotique de ce test au point \(\mu=4\) par exemple. Après avoir compilé («sourcée» dans R) la procédure correspondante de la Remarque 6 ci-dessus, nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_0=4,2,\ \mu=4\) et le seuil, \(\alpha=0,05\), à utiliser :

Puis1bAsym1Moye(DonneesN[,1],4.2,0.05,4), réponse : 0.4441.

Nous pouvons également tracer une approximation du graphique de la fonction puissance asymptotique du test avec la commande suivante :

plot( function(Mu) Puis1bAsym1Moye(Donnees[,1],4.2,0.05,Mu),3.5,5, xlab="mu",
ylab="pu", ylim=c(0,1), main="Fig. 2. Approximation de la puissance\n asymptotique du test 1b.", col="green4"),
segments( x0=c(4.2,0,4.069,0,4,0), y0=c(0,0.05,0,0.2557,0,0.4441), x1=c(4.2,4.2,4.069,4.0689,4,4),
y1=c(0.05,0.05,0.2557,0.2557,0.4441,0.4441), col="blue"))
points( x=c(4.2,4.069,4), y=c(0.05,0.2557,0.4441), col="red", pch=".", cex=7), réponse :

Nous avons marqué en rouge les points de coordonnées \((\mu_0\ ;\ \alpha)=(4,2\ ;\ 0,05)\), \((\overline{x}\ ;\ \widehat{pu}_{\psi^{(1b)}_{\infty}}(\overline{x}))\approx(4.069\ ;\ 0,2557)\) et \((\mu\ ;\ \widehat{pu}_{\psi^{(1b)}_{\infty}}(\mu)\approx(4\ ;\ 0,4441)\). Nous constatons que le test est asymptotiquement de seuil \(0,05\) et sans biais.\(\ \square\)

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7. Tests classiques d’hypothèses.

7. Tests classiques d’hypothèses.

7.5.1.a. Tests asymptotiques sur une moyenne théorique - Contre-hypothèses unilatérales.