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5. Propriétés limites.

5.2. Loi faible des grands nombres.

Le premier, en 1713, Bernoulli a étudié le comportement d’une somme de v.a. indicatrices indépendantes. Ses travaux ont été généralisés par Tchebychev.

Définition 1. Une suite \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) de v.a. centrées satisfait à la loi faible des grands nombres si :

\[ \overline{X}=\overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}0. \]

Interprétation. Cette notion est fondamentale en Statistique. Elle justifie, pour des réalisations de v.a. satisfaisant à la loi faible des grands nombres, le calcul des moyennes observées.

Nous donnons deux critères permettant de vérifier qu’une suite de v.a. satisfait à cette loi.

Propriété 1. Soit une suite \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) de v.a. deux à deux non corrélées, centrées et ayant des variances finies : \(\forall n\in {\mathbb N},\quad \sigma^2\lbrack X_n\rbrack={\mathbb E}\lbrack X_n^2\rbrack=\sigma_n^2 <+\infty\). Si

\[ \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sigma_i^2 \underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow 0, \]

la suite \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) satisfait à la loi faible des grands nombres.

Le second critère concerne des variables de même loi.

Propriété 2. Soit une suite de v.a. \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) i.i.d. et ayant des moyennes théoriques finies : \(\forall n\in {\mathbb N},\quad {\mathbb E}\lbrack X_n\rbrack=\mu <+\infty\). Alors la suite \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) satisfait à la loi faible des grands nombres et

\[ \overline{X}=\overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}\mu. \]

C’est-à-dire que la moyenne observée converge en probabilité vers la moyenne théorique.

Exemple 1. Considérons une suite \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) de v.a. indépendantes de même loi de Bernoulli \({\cal B}(1\ ;\ p)\). Nous avons

\[ {\mathbb E}\lbrack X_n\rbrack=p\qquad {\rm et}\qquad \sigma^2\lbrack X_n\rbrack=p(1-p). \]

La deuxième propriété nous permet alors d’affirmer que la suite satisfait à la loi faible des grands nombres, c’est-à-dire :

\[ \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}p. \]

Comme la moyenne de variables de Bernoulli est la fréquence de «\(1\)» observés, nous en déduisons donc que cette fréquence observée converge en probabilité vers la fréquence théorique. Cette propriété est à la base de l’interprétation «fréquentielle» d’une probabilité. \(\quad\square\)

Remarque 1. La plupart du temps la loi faible des grands nombres est énoncée sous les deux aspects de la convergence des fréquences observées et celle des moyennes observées.

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