5.1. Convergence en probabilité. \(\ast\)
5.2. Loi faible des grands nombres.
5.3. Convergence presque sûre. \(\ast\)
5.4. Loi forte des grands nombres.
5.5. Convergence en loi. \(\ast\)
5.6. Loi des événements rares.
5.7. Théorème de la Limite Centrale.
5.8. Stabilisation de la variance.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
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Nous présentons une notion de convergence un peu plus forte que la convergence en probabilité. Considérons une suite de v.a. \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\), pas nécessairement indépendantes, ni identiquement distribuées, ainsi qu’une v.a. \(X\).
Définition 1. Nous disons que la suite \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) converge presque sûrement vers \(X\) si :
\[ \forall \varepsilon > 0,\ \lim_{n\rightarrow +\infty}P(\sup_{k\geq n}\mid X_k-X\mid > \varepsilon)=0. \]Ceci est noté : \(X_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\).
Interprétation. Cette notion de convergence peut se comprendre de la manière suivante. Pour tout écart \(\varepsilon\) fixé, lorsque \(n\) devient très grand, il devient de plus en plus improbable d’observer simultanément pour tous les \(k > n\), un écart supérieur à l’écart donné, entre \(X_k\) et \(X\).
Propriété 1. Nous avons l’équivalence :
\[ X_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\qquad \Longleftrightarrow \qquad \sup_{k\geq n}X_k\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X. \]Propriété 2. Nous avons une manière équivalente de définir la convergence presque sûre :
\[ P(\lbrace \lim_{n\rightarrow +\infty}X_n=X\rbrace)=1\qquad \Longleftrightarrow \qquad X_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X. \]Propriété 3. La convergence presque sûre implique la convergence en probabilité :
\[ X_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\qquad \Longrightarrow \qquad X_n\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X. \]Remarque 1. La réciproque est fausse. Considérons le contre-exemple formel qui suit. Nous posons \((\Omega,\ {\cal A},\ P)=(\lbrack 0\ ;\ 1\rbrack,\ {\cal B}(\lbrack 0\ ;\ 1\rbrack), P)\), où \(P\) est la mesure de Lebesgue, c’est-à-dire \(P(\rbrack a\ ;\ b\rbrack)=b-a\) pour tout intervalle \(\rbrack a\ ;\ b\rbrack\). Nous définissons la suite de v.a. à double indice suivante :
\[ X_{m,\ n}(\omega)=I_{\lbrack\frac{m-1}{n}\ ;\ \frac{m}{n}\rbrack}(\omega),\quad {\rm pour}\quad m=1,\ \cdots,\ n,\quad {\rm et}\quad n\in{\mathbb N}^{\star}. \]Nous rangeons les v.a. dans l’ordre \(\cdots,\ X_{1,\ n},\ \cdots,\ X_{m,n},\ X_{1,n+1},\ \cdots\). Il est aisé alors de constater que :
\[ \forall \varepsilon \in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack,\quad P(\mid X_{m,\ n}\mid > \varepsilon)=P(X_{m,\ n}=1)=\frac{1}{n}\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow 0. \]Nous avons donc \(X_{m,\ n}\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}0\). Cependant :
\[ \forall \varepsilon \in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack,\quad P(\sup_{k\geq n}\mid X_{m,\ k}\mid > \varepsilon)=P(\sup_{k\geq n}X_{m,\ k}=1)=P(\lbrack 0\ ;\ 1\rbrack) = 1, \]ce qui implique que nous n’avons pas la convergence presque sûre. \(\quad\square\)
Propriété 4. Nous donnons deux critères pour la convergence presque sûre. Soit une suite de v.a. \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) et une v.a. \(X\). Nous avons :
Premier critère :
\[ \forall \varepsilon > 0,\ \sum_{n=1}^{+\infty}P(\mid X_n-X\mid > \varepsilon)< +\infty \qquad \Longrightarrow \qquad X_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X. \]Deuxième critère : si pour un nombre \(a > 0\), nous avons \({\mathbb E}\lbrack \mid X_n-X\mid^a\rbrack < +\infty\), alors :
\[ \sum_{n=1}^{+\infty}{\mathbb E}\lbrack \mid X_n-X\mid^a\rbrack < +\infty \qquad \Longrightarrow \qquad X_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X. \]Propriété 5. Soit une suite de v.a. \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) et une v.a. \(X\). Pour toute fonction continue \(h\), nous avons :
\[ X_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\quad \Longrightarrow \quad h(X_n)\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}h(X). \]En particulier, si \(X_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\), alors
\[ \forall a\in {\mathbb R},\quad aX_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}aX\qquad {\rm et} \qquad P(X=0)=0 \quad\Longrightarrow \quad\frac{1}{X_n}\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}\frac{1}{X}. \]Propriété 6. Soit deux suites de v.a. \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) et \(\lbrace Y_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\), et deux v.a. \(X,\ Y\). Pour toute fonction numérique continue \(h\) de \({\mathbb R}^2\), nous avons :
\[ X_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X \quad {\rm et}\quad Y_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}Y \qquad \Longrightarrow \qquad h(X_n,\ Y_n))\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}h(X,\ Y). \]En particulier, sous les mêmes conditions,
\[ X_n+Y_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X+Y,\qquad X_nY_n\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}XY \qquad{\rm et} \qquad P(Y=0)=0 \quad\Longrightarrow \quad\frac{X_n}{Y_n}\overset{p.s.}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}\frac{X}{Y}. \]Références. Des détails et une étude plus approfondie sont donnés, par exemple, dans l’ouvrage de W. Feller et l’ouvrage de C. Fourgeaud et A. Fuchs.
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