Convergence en loi.

5.5. Convergence en loi. \(\ast\)

Nous abordons le troisième type de convergence stochastique utilisée dans ce site. Considérons une suite de v.a. \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\), pas nécessairement indépendantes, ni identiquement distribuées, de f.r. \(F_n\), respectivement, ainsi qu’une v.a. \(X\) de f.r. \(F_X\).

Définition 1. Nous disons que la suite \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) converge en loi vers \(X\) si en tout point de continuité \(t\in {\mathbb R}\) de \(F_X(t)\), nous avons :

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty}F_n(t)=F(t). \]

Ceci est noté \(X_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\) ou encore \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\cal L}(X_n)={\cal L}(X)\).

Interprétation. Cette notion de convergence peut se comprendre aisément dans la mesure où ce sont les distributions qui convergent via leur f.r. .

Exemple 1. Soit \(\lbrace Y_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) une suite de v.a. indépendantes de même loi Exponentielle \({\cal GA}(1\ ;\ \beta)\). Nous posons \(X_n=\displaystyle\min_{i=1}^n Y_i=Y_{(1)}\). Des propriétés de cette statistique nous déduisons \({\cal L}(X_n)={\cal GA}(1\ ;\ n\beta)\). La f.r. de cette loi satisfait à :

\[ F_{X_n}(t)=\cases{ 0 \quad {\rm si} &\( t\leq 0,\) \cr 1-\exp(-n\beta t)\quad {\rm si} &\( 0 < t\), }\qquad \underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow \qquad \cases{ 0 \quad {\rm si} & \( t\leq 0, \)\cr 1 \quad {\rm si} & \(0 < t\). } \]

Cette fonction n’est pas une fonction de répartition. La f.r. de la v.a. définie par \(P(X=0)=1\) est donnée par :

\[ F_X(t)=\cases{ 0 \quad {\rm si} & \( t < 0,\) \cr 1 \quad {\rm si} &\( 0 \leq t\). } \]

Nous constatons cependant que \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}F_n(t)=F(t)\) en tout point de continuité de \(F_X\), c’est-à-dire pour tout nombre réel \(t \not=0\). Donc nous avons bien \(X_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\). \(\quad\square\)

Remarque 1. Si \(X\) est une v.a. discrète, pour montrer la convergence en loi il suffit de vérifier :

\[ P(X_n=x) \underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow P(X=x), \]

pour toutes les modalités \(x\) de \(X\).

Nous présentons un deuxième critère de la convergence en loi fondé sur la convergence des fonctions caractéristiques.

Propriété 1. Nous supposons que la suite des fonctions caractéristiques \(\lbrace c_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) des v.a. \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) converge vers une fonction \(c\), dont la partie réelle est continue à l’origine. Alors la fonction \(c\) est la fonction caractéristique d’une v.a. \(X\) et \(X_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\).

Propriété 2. La convergence en probabilité implique la convergence en loi :

\[ X_n\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\qquad \Longrightarrow \qquad X_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X. \]

Remarque 1. La réciproque est fausse. Considérons le contre-exemple qui suit. Soit les v.a. \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) et \(X\) définies de la manière suivante : \(\forall \omega \in\Omega,\quad \forall n\in {\mathbb N},\quad X_n(\omega)=1-X(\omega)\), avec \(P(X_n=0)=P(X_n=1)=0,5\). Nous avons ainsi pour tout \(\omega \in\Omega,\quad \mid X_n(\omega)-X(\omega)\mid=1\), ce qui implique que pour tout \(0 < \varepsilon< 1\), nous avons \( \ P(\mid X_n-X\mid > \varepsilon)=P(\mid X_n-X\mid =1)= 1\), qui ne tend pas vers \(0\) quand \(n \rightarrow +\infty\) ; nous n’avons donc pas la convergence en probabilité. Cependant :

\[ F_{X_n}(t)= F_X(t)=\cases{ 0\quad {\rm si} & \( t< 0\), \cr 0,5 \quad{\rm si} &\( 0 \leq t < 1\), \cr 1 \quad{\rm si}&\( 1 \leq t\). } \]

Ce qui implique \(X_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\). \(\quad\square\)

Propriété 3. Soit une suite de v.a. \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) et une v.a. \(X\). Pour toute fonction continue \(h\), nous avons :

\[ X_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\quad \Longrightarrow \quad h(X_n)\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}h(X). \]

En particulier, si \(X_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X\), alors

\[ \forall a\in {\mathbb R},\quad aX_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}aX\qquad {\rm et} \qquad P(X=0)=0 \quad\Longrightarrow \quad\frac{1}{X_n}\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}\frac{1}{X}. \]

Propriété 4. Soit une suite de v.a. \(\lbrace (X_n,\ Y_n),\ n\in {\mathbb N}\rbrace\), une v.a. \(X\) et \(a\in {\mathbb R}\) fixé. Nous supposons que :

\[ X_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X \qquad {\rm et} \qquad Y_n\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}a. \]

Alors, lorsque \(a=0\) :

\[ X_n + Y_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X \qquad {\rm et}\qquad X_nY_n\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}0. \]

De plus pour tout \(a\in {\mathbb R}\) et toute fonction continue \(h\) telle que \(h(a)\not=0\), nous avons :

\[ \frac{X_n}{h(Y_n)}\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}\frac{X}{h(a)}. \]

Remarquons que la somme deux suites de v.a. qui convergent en loi, n’est pas forcément convergente en loi.

Références. Des détails et une étude plus approfondie sont donnés, par exemple, dans l’ouvrage de W. Feller et l’ouvrage de C. Fourgeaud et A. Fuchs.

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5. Propriétés limites.

5. Propriétés limites.

5.5. Convergence en loi. \(\ast\)