5.1. Convergence en probabilité. \(\ast\)
5.2. Loi faible des grands nombres.
5.3. Convergence presque sûre. \(\ast\)
5.4. Loi forte des grands nombres.
5.5. Convergence en loi. \(\ast\)
5.6. Loi des événements rares.
5.7. Théorème de la Limite Centrale.
5.8. Stabilisation de la variance.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Une des applications de la convergence en loi est l’approximation d’une loi Binomiale par une loi de Poisson. Cette propriété est appellée loi des événements rares. De manière précise elle s’énonce ainsi.
Propriété 1. Considérons une suite \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) de v.a. suivant respectivement une loi Binomiale \({\cal B}(n\ ;\ p_n)\) et une v.a. \(X\) de loi de Poisson \({\cal P}(\lambda)\). Nous supposons que
\[ p_n=\frac{\lambda}{n}+o(\frac{1}{n}),\qquad {\rm avec}\qquad no(\frac{1}{n})\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow 0, \]ou, ce qui est équivalent, \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} np_n=\lambda\). Nous avons alors :
\[ X_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X, \]que nous pouvons encore écrire sous la forme \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\cal B}(n\ ;\ p_n)={\cal P}(\lambda).\)
Interprétation. Si des événements indépendants ont une très faible probabilité de réalisation, alors la somme de leurs indicatrices, lors d’expériences répétées, est distribuée selon une loi de Poisson.
Remarque 1. Pour voir le résultat, il suffit de constater (nous sommes en présence de variables discrètes) que :
\[ P(X_n=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p_n^k(1-p_n)^{n-k} \approx \frac{n!}{(n-k)!n^k}\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^{(n-k)}\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}. \]Remarque. En pratique nous pouvons utiliser l’approximation dès que \(n \geq 50\) et que \(np < 10\) ou \(n(1-p) < 10\), c’est-à-dire que \(p\) ou \(1-p\) doit être assez petit. A titre d’illustration, voici le calcul dans R de \(P(X=3)\) pour \(n=60\) et \(p=0,1\) :
dbinom(3,60,.1) ; réponse : 0.08435349.
dpois(3,6) ; réponse : 0.08923508 .
Voici un exemple de calcul dans le cas \(n(1-p) < 10\). Comme \({\cal L}(X)={\cal B}(n\ ;\ p)\) implique que \({\cal L}(n-X)={\cal B}(n\ ;\ 1-p)\), avec \(n=70\) et \(p=0,95\), pour calculer \(P(X=62)=P(70-X=8)\), nous utilisons les commandes :
dbinom(8,70,.05) ; réponse : 0.01533246.
dpois(8,3.5) ; réponse : 0.01686526 .
Si \(n \geq 50\) mais les conditions sur \(np\) et \(n(1-p)\) ne sont pas satisfaites, alors nous pouvons utiliser l’approximation par la loi Normale. \(\quad\square\)
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