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4. Lois théoriques usuelles.

4.1.1. Lois de Bernoulli.

Nous considérons les v.a. discrètes les plus élémentaires. L’étude de celles-ci et de leurs propriétés limites sont dues à Bernoulli.

Définition 1. Nous disons que la v.a. discrète \(X\) est une indicatrice ou suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p\in \lbrack 0\ ;\ 1\rbrack\) si elle ne prend que les deux valeurs \(0\) et \(1\) avec :

\[ P(X=0)=1-p \quad {\rm et} \quad P(X=1)=p. \]

Ceci est noté \({\cal L}(X)={\cal B}(1\ ;\ p)\). Le paramètre \(p\) est appelé en général proportion.

Modélisation. Cette loi est adaptée à l’étude des proportions. Nous proposons trois modélisations, tout à fait analogues, mais qui posent clairement les situtions où ces lois peuvent apparaître.

1) Considérons une urne contenant des boules qui diffèrent uniquement par la couleur : une proportion \(p\) de boules sont blanches et une proportion \(1-p\) sont noires. Nous tirons «au hasard» une boule dans cette urne. Nous codons \(1\) l’obtention d’une boule blanche et nous disons que nous avons un «succès» ; l’obtention d’une boule noire est codée par \(0\) et nous avons alors un «échec». Cette expérience correspond à la réalisation d’une v.a. de loi \({\cal B}(1\ ;\ p)\).

2) Soit un ensemble dans lequel une proportion \(p\) d’unités possèdent une caractéristique \({\cal C}\), par exemple personnes atteintes d’une maladie dans une population donnée, pièces défectueuses dans une fabrication, etc, alors le tirage d’une unité «au hasard» dans cette population correspond à la réalisation d’une v.a. de loi \({\cal B}(1\ ;\ p)\) ; pour cela il suffit de coder respectivement la présence et l’absence de \({\cal C}\) par \(1\) et \(0\). Nous disons également que \(X\) est l’indicatrice de la présence de la caractéristique \({\cal C}\). Si \(p=1\), cela veut dire que toutes les unités possèdent la caractéristique \({\cal C}\). Si par contre \(p=0\), cela veut dire qu’aucune unité ne possède la caractéristique \({\cal C}\).

3) Soit un événement \(A\) dans un espace \((\Omega,\ {\cal A},\ P)\) de probabilité \(P(A)=p\). Nous considérons la v.a. \(I_A\), définie par \(I_A(\omega)=1\) si \(\omega\in A\) et \(0\) sinon. La v.a. \(I_A\) est de loi \({\cal B}(1\ ;\ p)\) ; c’est l’indicatrice de l’événement \(A\).

L'importance du codage «\(1\)» et «\(0\)» apparaîtra dans le cadre des lois Binomiales. Nous insistons sur le fait que l’expression «au hasard» signifie dans ce contexte que le tirage est tel que chaque unité possède les mêmes chances d’être tirée.

Nous donnons les propriétés essentielles de ce type de variables.

Propriété 1. Si \({\cal L}(X)={\cal B}(1\ ;\ p)\), nous avons les résultats suivants :

\[ {\mathbb E} \lbrack X\rbrack = p \quad {\rm et}\quad \sigma^2\lbrack X\rbrack = p(1-p). \]

Remarquons que la plus grande variance correspond à \(p=0,5\) ; c’est la valeur pour laquelle nous avons la plus grande incertitude sur le fait de savoir si une unité possède ou pas la caractéristique \({\cal C}\).

Propriété 2. La fonction de répartition est :

\[ F_X(t)=P(X\leq t)=\cases{ 0 & \({\it si}\quad t < 0\), \cr 1-p & \({\it si}\quad 0 \leq t < 1\),\cr 1 & \({\it si}\quad 1 \leq t\). } \]

La fonction caractéristique \(c_X(t)\) et la fonction génératrice des moments \(g_X(t)\) sont respectivement :

\[ c_X(t)=(1-p)+pe^{it} \quad {\rm et} \quad g_X(t)=(1-p)+pe^{t}. \] Haut de la page.