4.0. Introduction aux lois usuelles.
4.1. Lois indicatrices et associées.
4.2. Lois de Poisson.
4.3. Lois uniformes discrètes.
4.4. Lois Normales et associées.
4.5. Lois Gamma.
4.6. Lois Bêta.
4.7. Lois de Weibull.
4.8. Lois de Pareto.
4.9. Lois de Gumbel.
4.10. Lois de Cauchy.
4.11. Lois uniformes continues.
4.12. Famille exponentielle. \(\ast\)
4.13. Lois empiriques.
4.14. Lois associées à la Statistique d’ordre. \(\ast\)
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Les lois de Pareto sont très utiles en Économie. Elles sont également utilisées pour les propriétés de leurs queues de distribution ou fonctions de survie qui sont à décroissance de type « puissance », c’est-à-dire relativement lente.
Définition 1. Une v.a. continue \(X\) suit une loi de Pareto de paramètres \(\alpha,\ x_0\in {\mathbb R}_+^{\star}\) si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
\[ \forall t\in {\mathbb R},\quad f_X(t) =\frac{\alpha x_0^{\alpha}}{t^{\alpha+1}}I_{\rbrack x_0\ ;\ +\infty\lbrack}(t)=\left \lbrace \begin{array}{ll} 0 & {\it si}\quad t\leq x_0, \\ \displaystyle\frac{\alpha x_0^{\alpha}}{t^{\alpha+1}} & {\it si}\quad x_0 < t. \end{array} \right. \]Ceci est noté \({\cal L}(X)={\cal PA}(\alpha\ ;\ x_0)\).
Modélisation. Pareto a construit cette loi en constatant que 20 % des Italiens possédaient 80 % des richesses de ce pays, loi dite du 20-80. Cette propriété qui indique que 20 % des causes engendrent 80 % des effets, a été généralisée et trouve des applications en économie, gestion, contrôle de qualité, files d’attente, réseaux, assurances, etc. Le paramètre \(\alpha\) est un paramètre d’échelle et \(x_0\) un paramètre de position.
Propriété 1. Si \({\cal L}(X)={\cal PA}(\alpha\ ;\ x_0)\) alors la fonction de répartition \(F_X(t)\) et la fonction de survie \(S_X(t)\) de \(X\) sont données par :
\[ F_X(t)=P(X \leq t)= 1-(\frac{x_0}{t})^{\alpha}\quad {\it et} \quad S_X(t)=P(t < X)=(\frac{x_0}{t})^{\alpha}. \]Remarque 1. C’est ici qu’apparaît la décroissance lente en \(t^{-\alpha}\), qui caractérise tous les phénomènes précédents décrits par cette loi.
Propriété 2. Si \({\cal L}(X)={\cal PA}(\alpha\ ;\ x_0)\) alors le mode, la médiane et l’interquartile de \(X\) sont donnés respectivement par :
\[ Mo\lbrack X\rbrack = x_0,\quad Me\lbrack X\rbrack= 2^{\frac{1}{\alpha}}x_0 ,\quad IQR\lbrack X\rbrack = (\frac{4}{3})^{\frac{1}{\alpha}}(3^{\frac{1}{\alpha}}-1)x_0. \]Propriété 3. Si \({\cal L}(X)={\cal PA}(\alpha\ ;\ x_0)\) alors la moyenne théorique et la variance théorique de \(X\) sont données respectivement par :
\[ {\it si}\quad 1< \alpha\quad {\mathbb E}\lbrack X \rbrack = \frac{x_0\alpha}{\alpha-1},\qquad {\it si}\quad 2< \alpha\quad \sigma^2\lbrack X\rbrack =\frac{x_0^2\alpha}{(\alpha-2)(\alpha-1)}. \]Remarque 2. Nous constatons que la moyenne théorique, et a fortiori la variance théorique, n’existent pas toujours. Ainsi les conditions sur \(\alpha\) impliquent qu’il est préférable, lorsque nous ne sommes pas sûrs de leur validité, d’utiliser le mode ou la médiane et l’interquartile pour décrire numériquement des données issues d’une loi de Pareto. De même une variable aléatoire de Pareto n’admet pas de fonction génératrice des moments.
Propriété 4. Si \({\cal L}(X)={\cal PA}(\alpha\ ;\ x_0)\) alors le coefficient d’asymétrie théorique et le coefficient d’aplatissement théorique de \(X\) sont donnés respectivement par :
\[ {\it si}\quad 3< \alpha\quad \gamma_1\lbrack X \rbrack = \frac{2(\alpha+1)}{\alpha-3}\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}},\qquad {\it si}\quad 4< \alpha\quad \gamma_2\lbrack X\rbrack = \frac{9\alpha^3-15\alpha^2-12}{\alpha^3-7\alpha^2+12\alpha}. \]Remarque 3. Nous constatons une asymétrie droite d’autant plus forte que le paramètre \(\alpha\) est élevé. De plus, dans cette situation, le coefficient d’aplatissement n’est pas pertinent.
Les lois de Pareto sont liées aux lois Gamma de la manière suivante.
Propriété 5. 1) Si \({\cal L}(X)={\cal PA}(\alpha\ ;\ x_0)\) alors \({\cal L}(\ln{(\displaystyle\frac{X}{x_0}}))={\cal GA}(1\ ;\ \alpha)\).
2) Si \({\cal L}(Y)={\cal GA}(\alpha\ ;\ \beta)\) alors, pour tout \(y_0\in {\mathbb R}_+^{\star}\), la v.a. \(y_0\exp{(Y)}\) admet pour densité la fonction :
\[ f_Y(t)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}(\ln{\frac{t}{y_0}})^{\alpha-1}\frac{y_0^{\beta}}{t^{\beta+1}}I_{\rbrack y_0\ ;\ +\infty\lbrack}(t),\quad t\in {\mathbb R}_+^{\star}. \]Si de plus \(\alpha=1\) alors \({\cal L}(y_0\exp{(Y)})={\cal L}(X)={\cal PA}(\beta\ ;\ x_0)\).
Haut de la page.