4.0. Introduction aux lois usuelles.
4.1. Lois indicatrices et associées.
4.2. Lois de Poisson.
4.3. Lois uniformes discrètes.
4.4. Lois Normales et associées.
4.5. Lois Gamma.
4.6. Lois Bêta.
4.7. Lois de Weibull.
4.8. Lois de Pareto.
4.9. Lois de Gumbel.
4.10. Lois de Cauchy.
4.11. Lois uniformes continues.
4.12. Famille exponentielle. \(\ast\)
4.13. Lois empiriques.
4.14. Lois associées à la Statistique d’ordre. \(\ast\)
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Nous présentons un ensemble de lois, contenant la plupart des lois usuelles, qui satisfont à une propriété importante en Statistique. Nous rappelons que pour étudier la loi d’une v.a. \(X\), nous considérons, soit ses probabilités \(f(x\ ;\ \theta)=P(X=x\ ;\ \theta)\) (cas discret), soit sa densité \(f(x\ ;\ \theta)\) (cas continu). Nous utiliserons dans les énoncés la fonction de densité, mais le cas discret est tout à fait analogue.
Définition 1. Soit une v.a. \(X\) de loi \(P_{\theta},\ \theta\in \Theta \subset{\mathbb R}^s\). Cette loi fait partie d’une famille exponentielle si elle satisfait aux deux propriétés suivantes :
1) Le support \(S_{\theta}=\lbrace x\in{\mathbb R}^p,\ f(x,\ \theta)> 0\rbrace =S\) ne dépend pas de \(\theta\).
2) Il existe \(s+1\) fonctions \(a_1(\theta),\ \cdots,\ a_s(\theta),\ b(\theta)\) définies sur \(\Theta\), et \(s+1\) fonctions \(T_1(x),\ \cdots,\ T_s(x),\ h(x)\) définies sur \({\mathbb R}^p\), telles que la densité s’écrit :
\[ \ln(f(x\ ;\ \theta))=\left(\sum_{j=1}^s a_j(\theta)T_j(x)\right)+b(\theta)+h(x). \]Remarque 1. Nous pouvons encore écrire :
\[ f(x\ ;\ \theta)=\exp(b(\theta))\exp(h(x))\exp\left(\sum_{j=1}^s a_j(\theta)T_j(x)\right)= B(\theta)H(x)\exp\left(\sum_{j=1}^s a_j(\theta)T_j(x)\right). \]Propriété 1. Soit une v.a. \(X\) de loi \(P_{\theta},\ \theta\in \Theta \subset{\mathbb R}^s\) faisant partie d’une famille exponentielle. Sous des conditions de régularité évidentes, nous avons :
\[ \forall j_0\in\lbrace 1,\ \cdots,\ s\rbrace,\quad \sum_{j=1}^s{\mathbb E}\lbrack T_j(X)\rbrack\frac{\partial a_j(\theta)}{\partial \theta_{j_0}}= -\frac{\partial b(\theta)}{\partial \theta_{j_0}}. \]Exemple 1. Soit une v.a. \(X\) distribuée selon une loi Binomiale \({\cal L}(X)={\cal B}(n\ ;\ p)\). Pour \(x\in\lbrace 0,\ \cdots,\ n\rbrace\), nous avons :
\[ \ln(f(x\ ;\ p))=x\ln(\frac{p}{1-p}) + n\ln(1-p) + \ln(\frac{n!}{x!(n-x)!}). \]Nous constatons que cette loi fait partie d’une famille exponentielle avec \(\theta=p,\ s=1\), le support \(S_p=\lbrace 0,\ \cdots,\ n\rbrace =S\) qui ne dépend pas de \(p\), et :
\[ a_1(p)=\ln(\frac{p}{1-p}),\quad T_1(x)=x,\quad b(p)=n\ln(1-p),\quad h(x)=\ln(\frac{n!}{x!(n-x)!}). \]La propriété 1 nous donne ici
\[ {\mathbb E}\lbrack T(X)\rbrack\frac{1}{p(1-p)}=\frac{n}{1-p}. \]C’est-à-dire \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=np\), résultat bien connu. \(\quad\square\)
Exemple 2. Soit une v.a. \(X\) distribuée selon une loi Normale \({\cal L}(X)={\cal N}(\mu\ ;\ \sigma^2)\). Pour \(x\in{\mathbb R}\), nous avons :
\[ \begin{array}{rcl} \ln(f(x\ ;\ \mu, \ \sigma^2))& = &\displaystyle-\frac{1}{2}\ln(\frac{1}{2\pi\sigma^2})-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2,\\ &=& \displaystyle\frac{x\mu}{\sigma^2}-\frac{x^2}{2\sigma^2}-\frac{\mu^2}{2\sigma^2}-\frac{1}{2}\ln(\frac{1}{2\pi\sigma^2}). \end{array} \]Nous avons \(s=2,\ \theta=\ ^t(\mu,\ \sigma^2)\), le support \(S_{(\mu,\ \sigma^2)}={\mathbb R}\times{\mathbb R}_{\star}^+ =S\) qui ne dépend pas de \(\mu\) ni de \(\sigma^2\), et :
\[ \begin{array}{l} a_1(\mu,\ \sigma^2)=\displaystyle\frac{\mu}{\sigma^2},\quad a_2(\mu,\ \sigma^2)=-\displaystyle\frac{1}{2\sigma^2},\quad T_1(x)=x, \\ T_2(x)=x^2,\quad b(\mu,\ \sigma^2)=-\displaystyle\frac{\mu^2}{2\sigma^2}+\frac{1}{2}\ln(\frac{1}{2\pi\sigma^2}),\quad h(x)=0. \end{array} \]Une loi Normale univariée fait bien partie d’une famille exponentielle. Il en est de même pour les lois Normales multivariées. La propriété 1, lorsque nous dérivons par rapport à \(\mu\), nous donne ici :
\[ {\mathbb E}\lbrack T_1(X)\rbrack\frac{1}{\sigma^2}+0\ {\mathbb E}\lbrack T_2(X)\rbrack=\frac{\mu}{\sigma^2}. \]C’est-à-dire \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\mu\). Lorsque nous dérivons par rapport à \(\sigma^2\), nous obtenons :
\[ -{\mathbb E}\lbrack T_1(X)\rbrack\displaystyle\frac{\mu}{\sigma^4}+{\mathbb E}\lbrack T_2(X)\rbrack\frac{1}{2\sigma^4}=-\frac{\mu^2}{2\sigma^4}+\frac{1}{2\sigma^2}. \]C’est-à-dire \({\mathbb E}\lbrack X^2\rbrack=\mu^2+\sigma^2\). \(\quad\square\)
Propriété 2. Soit \(X_{\bullet}\) un \(n-\)échantillon d’une v.a. \(X\) de loi \(P_{\theta},\ \theta\in \Theta \subset{\mathbb R}^s\) faisant partie d’une famille exponentielle. Alors \({\cal L}(X_{\bullet})\) fait partie d’une famille exponentielle. Son support est \(S^n\) et la vraisemblance s’écrit :
\[ \ln(L(x_{\bullet}\ ;\ \theta))=\left(\sum_{j=1}^s a_j(\theta)\left(\sum_{i=1}^nT_j(x_i)\right)\right)+nb(\theta)+\left(\sum_{i=1}^nh(x_i)\right). \]Il suffit de considérer les mêmes fonctions \(a_j(\theta),\ j=1,\ \cdots,\ s,\) que celles de \({\cal L}(X)\), \(nb(\theta)\) et de poser \(T_j(x_{\bullet})=\displaystyle\sum_{i=1}^n T_j(x_i),\ j=1,\ \cdots,\ s\) et \(h(x_{\bullet})=\displaystyle\sum_{i=1}^n h(x_i)\). \(\quad\square\)
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