4.0. Introduction aux lois usuelles.
4.1. Lois indicatrices et associées.
4.2. Lois de Poisson.
4.3. Lois Uniformes discrètes.
4.4. Lois Normales et associées.
4.5. Lois Gamma.
4.6. Lois Bêta.
4.7. Lois de Weibull.
4.8. Lois de Pareto.
4.9. Lois de Gumbel.
4.10. Lois de Cauchy.
4.11. Lois uniformes continues.
4.12. Famille exponentielle. \(\ast\)
4.13. Lois empiriques.
4.14. Lois associées à la Statistique d’ordre. \(\ast\)
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Nous présentons les lois Uniformes discrètes d’une utilisation pratique plutôt restreinte mais avec des aspects formels intéressants.
Définition 1. Une v.a. \(X\) suit une loi Uniforme discrète à valeurs dans l’ensemble \(\lbrace 1,\cdots,\ N\rbrace\) avec \(N\in {\mathbb N}^{\star}\) si :
\[ P(X=k)=\frac{1}{N}, \quad \forall k\in \lbrace 1,\cdots,\ N\rbrace. \]Nous notons \({\cal L}(X)={\cal U}(\lbrace 1,\cdots,\ N\rbrace)\).
Modélisation. Cette loi décrit l’expérience qui consiste à extraire une unité au hasard dans un ensemble contenant \(N\) unités. L’expression «au hasard» veut dire que le dispositif d’extraction est tel que chaque unité a les mêmes chances d’être choisie. L’exemple le plus classique est celui du lancer d’un dé équilibré à \(N\) faces.
Propriété 1. Si \({\cal L}(X)={\cal U}(\lbrace 1,\cdots,\ N\rbrace)\), nous avons les résultats suivants :
\[ {\mathbb E} \lbrack X\rbrack = \frac{N+1}{2}=Me\lbrack X\rbrack \quad {\rm et}\quad \sigma^2\lbrack X\rbrack = \frac{N^2-1}{12}. \]Propriété 2. Si \({\cal L}(X)={\cal U}(\lbrace 1,\cdots,\ N\rbrace)\), le mode \(Mo\lbrack X\rbrack\) est compris entre les deux nombres \(Ent(\displaystyle\frac{N+1}{2})\) et \(Ent(\displaystyle\frac{N+1}{2})+1\), où \(Ent(y)\) désigne la partie entière de \(y\). L’intervalle, défini par ces deux nombres est de longueur \(1\), il contient soit un seul entier, soit deux selon la parité de \(N\), qui correspondent alors aux bornes de celui-ci. Ainsi nous avons soit un seul mode soit deux. Les coefficients d’asymétrie et d’aplatissement sont respectivement :
\[ \gamma_1\lbrack X\rbrack = \frac{\mu_3\lbrack X\rbrack}{\sigma^3\lbrack X\rbrack}=0\quad {\it et}\quad \gamma_2\lbrack X\rbrack = \frac{\mu_4\lbrack X\rbrack}{\sigma^4\lbrack X\rbrack}-3=-\frac{3(N^2-3N+2)}{5(N^2-1)}. \]Remarque 1. La loi Uniforme a une distribution symétrique autour de son espérance mais sa forme est platykurtique ou sous-gaussienne ou encore sous-normale, c’est-à-dire que la distribution est plus aplatie que la distribution gaussienne.
Remarque 2. Ces propriétés peuvent être montrées en utilisant, après avoir posé \(S_p=\displaystyle\sum_{k=1}^N k^p\), les formules :
\[ S_1=\frac{N(N+1)}{2}\quad S_2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\quad S_3=(\frac{N(N+1)}{2})^2, \] \[ S_4=\frac{N(N+1)(6N^3+9N^2+N-1)}{30}. \]Pour le voir, il suffit de noter que \(S_p\) est un polynôme en \(N\) de degré \(p+1\), puis d’identifier les coefficients en résolvant un système linéaire de \(p+1\) équations établi en fixant des valeurs particulières pour \(N\), à savoir \(0, 1, 2,\cdots\).\(\quad\square\)
Propriété 3. Si \({\cal L}(X)={\cal U}(\lbrace 1,\cdots,\ N\rbrace)\), la fonction caractéristique \(c_X(t)\) et la fonction génératrice des moments \(g_X(t)\) sont respectivement :
\[ c_X(t)=\frac{e^{it}(e^{it(N+1)}-1)}{e^{it}-1}, \quad g_X(t)=\frac{e^t(e^{t(N+1)}-1)}{e^t-1}. \] Haut de la page.