4.0. Introduction aux lois usuelles.
4.1. Lois indicatrices et associées.
4.1.1. Lois de Bernoulli.
4.1.2. Lois Binomiales.
4.1.3. Lois Hypergéométriques.
4.1.4. Lois de Bernoulli multivariées.
4.1.5. Lois Multinomiales.
4.1.6. Lois Polyhypergéométriques.
4.1.7. Lois Binomiales Négatives - Lois Géométriques.
4.2. Lois de Poisson.
4.3. Lois uniformes discrètes.
4.4. Lois Normales et associées.
4.5. Lois Gamma.
4.6. Lois Bêta.
4.7. Lois de Weibull.
4.8. Lois de Pareto.
4.9. Lois de Gumbel.
4.10. Lois de Cauchy.
4.11. Lois uniformes continues.
4.12. Famille exponentielle. \(\ast\)
4.13. Lois empiriques.
4.14. Lois associées à la Statistique d’ordre. \(\ast\)
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Nous généralisons les lois de Bernoulli au cas multivarié.
Définition 1. Nous disons que le v.a. discret \(\sideset{^t}{}X=(X_1,\cdots, X_r)\), de dimension \(r\), suit une loi de Bernoulli multivariée de paramètres \(p_1,\cdots, p_r\), avec \(p_j \in \lbrack 0,\ 1\rbrack,\ j=1,\cdots, r\) et \(\displaystyle\sum_{j=1}^rp_j=1\), lorsqu’une seule de ses composantes prend la valeur \(1\) et toutes les autres la valeur \(0\) ; de plus pour \(\sideset{^t}{}x=(x_1, \cdots, x_r)\) avec \(x_{j_0}=1, x_j=0,\ j=1,\cdots, r\) et \(j\not=j_0\), nous avons \(P(X=x)=p_{j_0}\). Ceci est noté \({\cal L}(X)={\cal B}(1\ ;\ p_1, \cdots, p_r)\).
Modélisation. Considérons un ensemble partitionné en \(r\) sous-ensembles. Cette partition des unités peut être induite, par exemple, par \(r\) caractéristiques \({\cal C}_1, \cdots, {\cal C}_r\), exclusives les unes des autres. La proportion des unités qui possèdent la caractéristique \({\cal C}_j\) est \(p_j\). Nous avons bien entendu \(p_j \in \lbrack 0,\ 1\rbrack,\ j=1, \cdots, r\) et \(\displaystyle\sum_{j=1}^rp_j=1\). Alors le tirage d’une unité «au hasard» dans cette population correspond à une réalisation du v.a. \(X\) : toutes les composantes sont nulles, sauf celle qui correspond à la caractéristique possédée par l’unité tirée et qui vaut \(1\). Donc \(X\) est l’indicatrice multivariée de la présence de l’une des caractéristiques \({\cal C}_1, \cdots, {\cal C}_r\). L’expression «au hasard» signifie dans ce contexte que le choix est tel que chaque unité possède la même chance d’être extraite.
Propriété 1. Si \({\cal L}(X)={\cal B}(1\ ;\ p_1, \cdots, p_r)\), alors pour tout \(j=1, \cdots, r\), la loi marginale de \(X_j\) est une loi de Bernoulli \({\cal B}(1\ ;\ p_j)\).
Propriété 2. Si \({\cal L}(X)={\cal B}(1\ ;\ p_1, \cdots, p_r)\), alors la moyenne théorique de ce v.a. est le vecteur défini par :
\[ {\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\pmatrix{ {\mathbb E}\lbrack X_1\rbrack\cr \vdots \cr {\mathbb E}\lbrack X_r\rbrack \cr}= \pmatrix{ p_1\cr \vdots \cr p_r\cr}, \]Propriété 3. Si \({\cal L}(X)={\cal B}(1\ ;\ p_1, \cdots, p_r)\), alors la matrice des variances-covariances théoriques de ce vecteur est définie par :
\[ \Sigma\lbrack X\rbrack={\mathbb E}\left\lbrack (X - {\mathbb E}\lbrack X\rbrack)\ \sideset{^t}{}(X - {\mathbb E}\lbrack X\rbrack)\right\rbrack= \] \[ =\pmatrix{ p_1(1-p_1) & -p_1p_2& \cdots & -p_1p_r \cr -p_2p_1& p_2(1-p_2) & \cdots & -p_2p_r \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\cr -p_rp_1 & \cdots & \cdots & p_r(1-p_r) \cr} \]Propriété 4. Si \({\cal L}(X)={\cal B}(1\ ;\ p_1, \cdots, p_r)\), alors sa fonction caractéristique \(c_X(s_1, \cdots, s_r)\) et sa fonction génératrice des moments \(g_X(s_1, \cdots, s_r)\) sont respectivement :
\[ c_X(s_1, \cdots, s_r)=\sum_{j=1}^rp_je^{is_j} \quad {\rm et} \quad g_X(s_1, \cdots, s_r)=\sum_{j=1}^rp_je^{s_j}. \] Haut de la page.