le logo du site

4. Lois théoriques usuelles.

4.1.7. Lois Binomiales Négatives - Lois Géométriques.

Nous présentons une famille de lois qui sont définies sur l’ensemble des nombres entiers naturels \({\mathbb N}\). Nous utilisons la fonction spéciale Gamma \(\Gamma(\alpha)\).

Définition 1. Nous appelons loi Binomiale Négative de paramètres \(\nu\in{\mathbb R}^{\star}_+ \) et \(p\in\rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) la loi de probabilité d’une v.a., prenant ses valeurs dans \({\mathbb N}\), définie par :

\[ P(X=k)=\frac{\Gamma(\nu+k)}{\Gamma(\nu)k!}p^{\nu}(1-p)^k,\quad k\in {\mathbb N}. \]

Nous notons \({\cal L}(X)={\cal BN}(\nu\ ;\ p)\).

Modélisation. La loi Binomiale Négative apparaît dans l’étude du nombre d’événements pouvant se réaliser dans le temps, événements qui n’ont pas la même probabilité de se réaliser (comme par exemple les mélanges de lois de Poisson et de lois Gamma). Cette loi est très utile en assurance pour l’étude du nombre de sinistres par police durant un temps fixé dans des portefeuilles à risques hétérogènes.

Cas particuliers. Lorsque \(\nu=n\in{\mathbb N}\), nous avons une modélisation plus concrète. Considérons un ensemble dont une proportion \(p\) d’unités possèdent une caractéristique \({\cal C}\). Nous procédons à des tirages avec remise. Alors la loi \({\cal BN}(n\ ;\ p)\) donne la loi de probabilité du nombre d’unités sans \({\cal C}\), extraites avant d’observer l’unité d’ordre \(n\) avec la caractéristique \({\cal C}\). Lorsque \(\nu=n=1\) nous avons la loi Géométrique et nous notons \({\cal BN}(1\ ;\ p)={\cal GE}(p)\). Lorsque \(\nu=n > 1\), si \({\cal L}(X)={\cal BN}(n\ ;\ p)\), alors \(X\) est la somme de \(n\) variables indicatrices indépendantes de même loi \({\cal GE}(p).\)

Remarque 1. Pour montrer que la somme des probabilités vaut bien \(1\), nous utilisons l’expression :

\[ \frac{1}{(1-u)^{\nu}}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\Gamma(\nu+k)}{\Gamma(\nu)k!}u^{\nu},\quad \forall \nu\in{\mathbb R}^{\star}_+,\quad \forall u\in\rbrack -1\ ;\ 1\lbrack \]

Celle-ci s’obtient en utilisant le fait que les deux séries :

\[ s(u)=\sum_{0\le k}a_k u^k\quad {\rm et}\quad s^{\prime}(u)=\sum_{1\le k}ka_k u^k, \]

satisfont l’équation :

\[ (1-u)s^{\prime}(u)=\nu s(u), \quad {\rm avec}\quad s(0)=1, \]

et en identifiant les coefficients de même degré.

Calculs avec R. A la base, les commandes comprennent l’expression «nbinom» précédée d’une lettre spécifiant le calcul à réaliser. Les deuxième et troisième options de la commande sont respectivement \(\nu,\ p\). Si \({\cal L}(X)={\cal BN}(2,5\ ;\ 0,4)\), alors \(P(X=3)\) et \(P(X\le 3)\) se déterminent avec les commandes :

dnbinom(3,size=2.5,prob=0.4) ; réponse : 0.1434409.

pnbinom(3,size=2.5,prob=0.4,lower.tail=TRUE) ; réponse : 0.5558019.

La médiane \(Me\lbrack X\rbrack\) se détermine quant à elle avec la commande quantile

qnbinom(0.5,size=2.5,prob=0.4,lower.tail=TRUE) ; réponse : 3.

C’est la même commande, mais adaptée, qui permet le calcul de tout quantile. Il est possible de réaliser des simulations d’observations d’une loi Binomiale Négative avec la commande rnbinom et les paramètres souhaités.

Propriété 1. Si deux v.a. \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes et respectivement de lois \({\cal BN}(\nu_1\ ;\ p)\) et \({\cal BN}(\nu_2\ ;\ p)\), alors : \({\cal L}(X_1+X_2)={\cal BN}(\nu_1+\nu_2\ ;\ p)\). Cette propriété n’est satisfaite que si la proportion \(p\) est la même pour les deux lois.

Propriété 2. Si \({\cal L}(X)={\cal BN}(\nu\ ;\ p)\), nous avons \({\mathbb E} \lbrack X\rbrack = \dfrac{\nu(1-p)}{p}\) et \(\sigma^2\lbrack X\rbrack =\dfrac{\nu (1-p)}{p^2}.\)

Remarque 2. Il n’existe pas d’expression simple donnant directement la médiane et plus généralement les quantiles d’une loi Binomiale Négative. En pratique il faut utiliser la dernière commande ci-dessus de R.

Propriété 3. Si \({\cal L}(X)={\cal BN}(\nu\ ;\ p)\), le mode \(Mo\lbrack X\rbrack\) est compris entre les deux nombres \(\dfrac{\nu(1-p)-1}{p}\) et \(\dfrac{\nu(1-p)-1}{p}+1\), lorsque \(1\le \nu\). L’intervalle défini par ces deux nombres est de longueur \(1\), il contient soit un seul entier, soit deux, qui correspondent alors aux bornes de celui-ci. Ainsi nous avons soit un seul mode soit deux. Si \(0< \nu < 1\), alors le mode est nul. Les coefficients d’asymétrie et d’aplatissement sont respectivement :

\[ \gamma_1\lbrack X\rbrack = \frac{\mu_3\lbrack X\rbrack}{\sigma^3\lbrack X\rbrack}=\frac{2-p}{\sqrt{\nu(1-p)}}\quad {\it et}\quad \gamma_2\lbrack X\rbrack = \frac{\mu_4\lbrack X\rbrack}{\sigma^4\lbrack X\rbrack}-3=\frac{p^2+3(2-\nu)(1-p)}{\nu(1-p)}. \]

Propriété 5. Si \({\cal L}(X)={\cal BN}(\nu\ ;\ p)\), la fonction caractéristique \(c_X(t)\) et la fonction génératrice des moments \(g_X(t)\) sont respectivement :

\[ c_X(t)=(\frac{p}{1-(1-p)e^{it}})^{\nu} \quad {\it et} \quad g_X(t)=(\frac{p}{1-(1-p)e^{t}})^{\nu},\quad {\rm pour}\ t< \ln(\frac{1}{1-p}). \] Haut de la page.