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1. Les observations.

1.9.4. Vecteurs aléatoires. \(\ast\)

Nous considérons les cas où nous observons deux variables sur chaque unité, c’est-à-dire que nous sommes en présence d’un vecteur aléatoire réel de dimension deux. Nous en donnons quelques éléments théoriques ; la généralisation à une dimension supérieure à deux se fait aisément. Nous notons \({\cal B}_2={\cal B}(\mathbb{R}^2)={\cal B}\otimes{\cal B}\) la \(\sigma\)-algèbre des ensembles boréliens qui est engendrée, par exemple, par les pavés (ou les cylindres) ouverts de \(\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\).

Définition 1. Considérons un espace mesurable \((\Omega,\ {\cal A})\). Nous appelons vecteur aléatoire réel, en abrégé v.a. de dimension deux toute application \(X=\ ^t(X_1,\ X_2)\) de \(\Omega\) dans \(\mathbb{R}^2\) telle que pour tout pavé ouvert \(I\times J\) de \(\mathbb{R}^2\), nous ayons :

\[ X^{-1}(I\times J)=\lbrace \omega\ :\ ^t(X_1(\omega),\ X_2(\omega))\in I\times J \rbrace = \lbrace X\in I\times J \rbrace \in {\cal A}. \]

Nous dirons que \(X(\omega)=\ ^t(X_1(\omega),\ X_2(\omega))=x=\ ^t(x_1,\ x_2)\) est une réalisation de \(X\).

Définition 2. Soit \(X\) un v.a. réel défini sur un espace probabilisé \((\Omega,\ {\cal A},\ P)\). Nous appelons loi de probabilité de \(X\), la probabilité, notée \(P_X\), image de \(P\) par \(X\), c’est-à-dire :

\[ \forall A\in {\cal B}(\mathbb{R}^2), \qquad P_X(A) = P(X\in A) = P(\lbrace \omega\ :\ X(\omega)\in A \rbrace). \]

La fonction de répartition de \(X\) est donnée par :

\[ \forall (t_1,\ t_2)\in \mathbb{R}^2,\ F_X(t_1,\ t_2)=P(X\in \rbrack -\infty,\ t_1\lbrack\times\rbrack -\infty,\ t_2\lbrack)=P(X_1\leq t_1,\ X_2\leq t_2) \]

Nous appelons loi marginale de \(X_1\) la loi de probabilité définie par :

\[ \forall A\in {\cal B}(\mathbb{R}),\ P_{X_1}(A)=P(X\in A\times\mathbb{R})=P(X_1\in A ,\ X_2\in \mathbb{R}) \]

Nous appelons loi conditionnelle de \(X_1\) sachant que \((X_2\in B)\), avec \(B\in {\cal B}(\mathbb{R})\) et tel que \(P(X_2\in B)\not=0\), la loi de probabilité définie par :

\[ \forall A\in {\cal B}(\mathbb{R}),\ P(X\in A\mid X_2\in B)=\frac{P(X_1\in A ,\ X_2\in B)}{P(X_2\in B)}. \]

Remarque. Comme pour une variable, nous utilisons en général deux types de vecteurs aléatoires.

\( 1.\) Les v.a. discrets dont l’ensemble des valeurs \(X(\Omega)=\lbrace (x_{1,k},\ x_{2,l})\ :\ k,\ l\in{\mathbb N}\rbrace\) est inclus dans l’ensemble \(\mathbb{N}^2\) ou égal à ce dernier ; la loi de probabilité d’un tel vecteur est définie par la donnée de \(\lbrace p_{k,l}\ :\ k,\ l\in{\mathbb N}\rbrace\) satisfaisant

\[ \forall k,\ l,\quad p_{k,l}\geq 0,\qquad P(X_1=x_{1,k},\ X_2=x_{2,l})=p_{k,l} \qquad {\rm et} \qquad \sum_{k,l}p_{k,l}=1. \]

La fonction de répartition est donnée par :

\[ F_X(t_1,\ t_2) = P(X_1\leq t_1,\ X_2\leq t_2) = \sum_{x_{1,k}\leq t_1,\ x_{2,l}\leq t_2} p_{k,l}. \]

La loi marginale de \(X_1\) et celle de \(X_2\) sont données par :

\[ P(X_1=x_{1,k_0})=p_{k_0,\bullet}=\sum_l p_{k_0,l}\quad {\rm et}\quad P(X_2=x_{2,l_0})=p_{\bullet, l_0,}=\sum_k p_{k,l_0}. \]

Lorsque \(p_{k_0,\bullet} > 0\), la loi conditionnelle de \(X_2\) sachant que \(X_1=x_{1,k_0}\), par exemple, est définie par :

\[ P(X_2=x_{2,l}\mid X_1=x_{1,k_0})=\frac{p_{k_0,l}}{p_{k_0,\bullet}},\quad \forall l\in{\mathbb N}. \]

\( 2.\) Les v.a. absolument continus, ou simplement continus, dont l’ensemble des valeurs \(X(\Omega)\) est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^2\) ou égal à ce dernier ; la loi de probabilité d’un tel vecteur est définie par la donnée d’une fonction positive \(f_X(x_1,\ x_2)\) appelée densité de probabilité telle que :

\[ P(X\in A) = \iint_A f_X(x_1,\ x_2)dx_1dx_2\ \forall A\in{\cal B}(\mathbb{R}^2)\quad {\rm et}\quad \iint_{{\mathbb R}^2} f_X(x_1,\ x_2) dx_1dx_2=1. \]

La fonction de répartition satisfait à :

\[ F_X(t_1,\ t_2) = P(X_1\leq t_1,\ X_2\leq t_2) = \int_{-\infty}^{t_1}\int_{-\infty}^{t_2} f_X(x_1,\ x_2) dx_1dx_2,\quad \forall t_1, t_2\in{\mathbb R}. \]

De plus, nous avons la propriété :

\[ \frac{\partial^2}{\partial t_1\partial t_2}F_X(t_1,\ t_2)=f_X(t_1,\ t_2),\quad \forall t_1, t_2\in{\mathbb R}. \]

La loi marginale de \(X_1\), par exemple, est définie par la densité :

\[ f_{X_1}(x_1) = \int_{\mathbb R} f_X(x_1,\ x_2)dx_2,\quad \forall x_1\in{\mathbb R}. \]

Lorsque \(f_{X_1}(x_0) > 0\), la loi conditionnelle de \(X_2\) sachant que \(X_1=x_0\), par exemple, est définie par la densité :

\[ f_{X_2\mid X_1=x_0}(x_2)=\frac{f_X(x_0, x_2)}{f_{X_1}(x_0)},\quad \forall x_2\in{\mathbb R}. \] Haut de la page.