1. Les observations et le modèle aléatoire.

Menu principal.
Sommaire général du site.

1. Les observations et le modèle aléatoire.

1.1. Variables - échantillons.
1.2. Applications.
1.3. Distributions statistiques.
1.9. Le modèle aléatoire.
  1.9.1. Espace mesurable. \(\ast\)
  1.9.2. Probabilité - Indépendance. \(\ast\)
  1.9.3. Variables aléatoires. \(\ast\)
  1.9.4. Vecteurs aléatoires. \(\ast\)
  1.9.5. Indépendance - Vraisemblance.
  1.9.6. Moments d’une v.a. .
  1.9.7. Moments et dépendances d’un v.a. de dim. 2. \(\ast\)
  1.9.8. Moments et dépendances d’un v.a. de dim. p. \(\ast\)

Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.

---

© Photis NOBELIS, 2009 à .
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.

---

1.9.4. Vecteurs aléatoires. \(\ast\)

Nous considérons les cas où nous observons deux variables sur chaque unité, c’est-à-dire que nous sommes en présence d’un vecteur aléatoire réel de dimension deux. Nous en donnons quelques éléments théoriques ; la généralisation à une dimension supérieure à deux se fait aisément. Nous notons \({\cal B}_2={\cal B}(\mathbb{R}^2)={\cal B}\otimes{\cal B}\) la \(\sigma-\)algèbre des ensembles boréliens qui est engendrée, par exemple, par les pavés (ou les cylindres) ouverts de \(\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\).

Définition 1. Considérons un espace mesurable \((\Omega,\ {\cal A})\). Nous appelons vecteur aléatoire réel, en abrégé v.a. de dimension deux toute application \(X=\sideset{^t}{}(X_1,\ X_2)\) de \(\Omega\) dans \(\mathbb{R}^2\) telle que pour tout pavé ouvert \(I\times J\) de \(\mathbb{R}^2\), nous ayons :

• \(X^{-1}(I\times J)=\lbrace \omega\ :\ X(\omega)=\sideset{^t}{}(X_1(\omega),\ X_2(\omega))\in I\times J \rbrace = \lbrace X\in I\times J \rbrace \in {\cal A}.\)

Nous dirons que \(X(\omega)=\sideset{^t}{}(X_1(\omega),\ X_2(\omega))=x=\sideset{^t}{}(x_1,\ x_2)\) est une réalisation de \(X\).

L’expression \(\sideset{^t}{}U\) désigne le vecteur transposé du vecteur \(U\).

Définition 2. Soit \(X\) un v.a. réel défini sur un espace probabilisé \((\Omega,\ {\cal A},\ P)\). Nous appelons loi de probabilité de \(X\), la probabilité, notée \(P_X\), image de \(P\) par \(X\), c’est-à-dire :

• \(\forall A\in {\cal B}(\mathbb{R}^2), \quad P_X(A) = P(X\in A) = P(\lbrace \omega\ :\ X(\omega)\in A \rbrace).\)

La fonction de répartition de \(X\) est donnée par :

• \(\forall (t_1,\ t_2)\in \mathbb{R}^2,\ F_X(t_1,\ t_2)=P(X\in \rbrack -\infty,\ t_1\lbrack\times\rbrack -\infty,\ t_2\lbrack)=P(X_1\leq t_1,\ X_2\leq t_2).\)

Définition 3. Nous appelons loi marginale de \(X_1\) la loi de probabilité définie par :

• \(\forall A\in {\cal B}(\mathbb{R}),\ P_{X_1}(A)=P(X\in A\times\mathbb{R})=P(X_1\in A ,\ X_2\in \mathbb{R}).\)

Nous appelons loi conditionnelle de \(X_1\) sachant que \((X_2\in B)\), avec \(B\in {\cal B}(\mathbb{R})\) et tel que \(P(X_2\in B)\not=0\), la loi de probabilité définie par :

• \(\forall A\in {\cal B}(\mathbb{R}),\ P(X_1\in A\mid X_2\in B)=\dfrac{P(X_1\in A ,\ X_2\in B)}{P(X_2\in B)}.\)

Remarque 1. Comme pour une v.a., nous avons en général deux types de v.a., les v.a. discrets et les v.a. continus ; nous décrivons ci-après leur loi. Nous pouvons aussi avoir un vecteur dont l’une des composante est une v.a. discrète et l’autre continue.

Propriété 1. Les v.a. discrets ont l’ensemble de leurs valeurs \(X(\Omega)=\lbrace (x_{1,j},\ x_{2,j^{\prime}})\ :\ j,\ j^{\prime}\in{\mathbb N}\rbrace\) inclus dans \(\mathbb{N}^2\) ou égal à ce dernier ensemble ; la loi de probabilité d’un tel vecteur est définie par la donnée de \(\lbrace p_{j,j^{\prime}}\ :\ j,\ j^{\prime}\in{\mathbb N}\rbrace\) satisfaisant

• \(\forall j,\ j^{\prime},\quad p_{j,j^{\prime}}\geq 0,\quad \displaystyle\sum_{j,j^{\prime}}p_{j,j^{\prime}}=1\quad {\rm et} \quad P(X_1=x_{1,j},\ X_2=x_{2,j^{\prime}})=p_{j,j^{\prime}}.\)

La fonction de répartition est donnée par :

• \(F_X(t_1,\ t_2) = P(X_1\leq t_1,\ X_2\leq t_2) = \displaystyle\sum_{x_{1,j}\leq t_1,\ x_{2,j^{\prime}}\leq t_2} p_{j,j^{\prime}}.\)

La loi marginale de \(X_1\) et celle de \(X_2\) sont données par :

• \(P(X_1=x_{1,j_0})=p_{j_0,\bullet}=\displaystyle\sum_{j^{\prime}} p_{j_0,j^{\prime}}\quad {\rm et} \quad P(X_2=x_{2,j^{\prime}_0})=p_{\bullet,j^{\prime}_0,}=\sum_j p_{j,j^{\prime}_0}.\)

Lorsque \(p_{j_0,\bullet} > 0\), la loi conditionnelle de \(X_2\) sachant que \(X_1=x_{1,j_0}\), par exemple, est définie par :

• \(P(X_2=x_{2,j^{\prime}}\mid X_1=x_{1,j_0})=\dfrac{p_{j_0,j^{\prime}}}{p_{j_0,\bullet}},\quad \forall j^{\prime}\in{\mathbb N}.\)

Propriété 2. Les v.a. absolument continus, ou simplement continus, ont l’ensemble de leurs valeurs \(X(\Omega)\) inclus dans \(\mathbb{R}^2\) ou égal à ce dernier ensemble ; la loi de probabilité d’un tel vecteur est définie par la donnée d’une fonction positive \(f_X(x_1,\ x_2)\) appelée densité de probabilité telle que :

• \(P(X\in A) = \displaystyle\iint_A f_X(x_1,\ x_2)dx_1dx_2\ \forall A\in{\cal B}(\mathbb{R}^2)\quad {\rm et}\quad \iint_{{\mathbb R}^2} f_X(x_1,\ x_2) dx_1dx_2=1.\)

La fonction de répartition satisfait à :

• \(F_X(t_1,\ t_2) = P(X_1\leq t_1,\ X_2\leq t_2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{t_1}\int_{-\infty}^{t_2} f_X(x_1,\ x_2) dx_1dx_2,\quad \forall t_1, t_2\in{\mathbb R}.\)

De plus, nous avons :

• \(\dfrac{\partial^2}{\partial t_1\partial t_2}F_X(t_1,\ t_2)=f_X(t_1,\ t_2),\quad \forall t_1, t_2\in{\mathbb R}.\)

La loi marginale de \(X_1\), par exemple, est définie par la densité :

• \(f_{X_1}(x_1) = \displaystyle\int_{\mathbb R} f_X(x_1,\ x_2)dx_2,\quad \forall x_1\in{\mathbb R}.\)

Lorsque \(f_{X_1}(x_0) > 0\), la loi conditionnelle de \(X_2\) sachant que \(X_1=x_0\), par exemple, est définie par la densité :

• \(f_{X_2\mid X_1=x_0}(x_2)=\dfrac{f_X(x_0, x_2)}{f_{X_1}(x_0)},\quad \forall x_2\in{\mathbb R}.\)

Haut de la page.