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1. Les observations.

1.9.2. Probabilité - Indépendance. \(\ast\)

Dans cette page nous abordons la définition axiomatique de la notion de probabilité.

Définition 1. Considérons un espace mesurable \((\Omega,\ {\cal A})\). Nous appelons fréquence théorique ou probabilité toute application \(P\) de \( {\cal A}\) dans \(\lbrack 0\ ;\ 1 \rbrack\) satisfaisant aux trois axiomes suivants :

\( \begin{array}{1} -\ P(\Omega)=1,\\ -\ \forall\ A, B \in {\cal A},\ A\subset B\ \Rightarrow P(A)\leq P(B),\\ -\ \forall\ A_n \in {\cal A},\ 1,\cdots, n,\quad {\it tels\ que}\ m\neq n \Rightarrow\ A_m\cap A_n=\emptyset,\quad {\it alors}\ \displaystyle P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n). \end{array} \)

Le triplet \((\Omega,\ {\cal A},\ P)\)est appelé espace probabilisé .

Remarque. Pendant très longtemps, c’est la définition fréquentielle de la probabilité, c’est-à-dire comme limite d’une fréquence observée, qui a prévalu. Mais c’est la définition précédente, introduite dans les années 1920 par Kolmogorov, qui a réellement permis le développement actuel de la Statistique et de la théorie des Probabilités.

Propriétés. Pour tous les événements \(A,\ B\) d’un espace probabilisé, nous avons :

\[ P(\emptyset)=0,\qquad P(A^c)=1-P(A),\qquad P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B). \]

Définition 2. Considérons un espace probabilisé \((\Omega,\ {\cal A},\ P)\). Nous avons :

- Deux événements \(A,\ B \in {\cal A}\) sont \(P\)-indépendants ou indépendants si \(P(A\cap B)=P(A) P(B)\).

- \(n\) événements \(A_1,\ \cdots,\ A_n \in {\cal A}\) sont mutuellement \(P\)-indépendants ou mutuellement indépendants si pour tout sous-ensemble d’indices \(i_1,\ \cdots,\ i_k\) inclus dans \(\lbrace 1,\ \cdots,\ n\rbrace\) nous avons :

\[ P(A_{i_1}\cap\cdots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k}). \]

Remarque. Il ne faut pas confondre incompatibilité et indépendance d’événements. Il est à noter que des événements peuvent être deux à deux indépendants sans être mutuellement indépendants. Pour simplifier, lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, nous dirons simplement indépendants pour mutuellement indépendants.

Définition 2. Considérons un espace probabilisé \((\Omega,\ {\cal A},\ P)\). Soit un événement \(A\in {\cal A}\) tel que \(P(A)>0\). Nous appelons probabilité conditionnelle d’un événement \(B \in {\cal A}\) sachant ou lié à \(A\) l’expression :

\[ P_A(B)=P(B\mid A) = \frac{P(B\cap A)}{P(A)}. \]

Remarque. Cette définition implique que :

\[ P(A\cap B) = P_A(B)P(A), \]

c’est-à-dire que deux événements \(A\), tel que \(P(A)>0\), et \(B\) sont indépendants si \( P_A(B) = P(B)\), la probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) ne dépend pas de \(A\).

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