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1. Les observations.

1.9.5. Indépendance - Vraisemblance.

Nous étendons la notion d’indépendance aux variables aléatoires.

Définition 1. Deux v.a. réelles \(X,\ Y\), définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\ {\cal A},\ P)\), sont stochastiquement indépendantes ou indépendantes si la condition suivante est satisfaite :

\[ \forall A,\ B \in {\cal B},\quad P(X\in A,\ Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B). \]

Remarque 1. De manière analogue à celle des événements mutuellement indépendants, nous avons la notion de v.a. mutuellement indépendantes.

Propriété. Un critère de l’indépendance de deux v.a. est que la fonction de répartition du couple soit le produit des fonctions de répartition de chaque variable, c’est-à-dire :

\[ \forall (x,\ y)\in \mathbb{R}^2, \qquad F_{(X,\ Y)}(x,\ y)=F_X(x)F_Y(y). \]

Remarque 2. Pour les deux types usuels de v.a. l’indépendance s’écrira de la manière suivante.

\(1.\) Les v.a. discrètes. Soit \(X\ {\rm et} \ Y\) deux v.a. dont les lois sont définies par \(\lbrace (x_i,\ p_i)\ :\ i\in \mathbb{N}\rbrace\) et \(\lbrace (y_j,\ q_j)\ :\ j\in \mathbb{N}\rbrace\). Alors \(X\ {\rm et} \ Y\) sont indépendantes si et seulement si :

\[ \forall i,\ j \in \mathbb{N},\quad P(X=x_i,\ Y=y_j)=p_iq_j. \]

\(2.\) Les v.a. continues. Soit \(X\ {\rm et} \ Y\) deux v.a. continues dont les lois sont définies par les densités \(f_X(x)\) et \(f_Y(y)\). Alors \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si et seulement si :

\[ \forall (x,\ y) \in \mathbb{R}^2,\quad f_{(X,\ Y)}(x,\ y)=f_X(x)f_Y(y). \]

Nous terminons cette page avec une notion importante en Statistique.

Définition 2. Soit \(x_{\bullet}=(x_1,\ \cdots,\ x_n)\) un \(n\)−échantillon d’une v.a. \(X\). Nous appelons fonction de vraisemblance de cet échantillon l’expression :

\[ L(x_1,\ \cdots,\ x_n)=\prod_{i=1}^nP(X=x_i)\ {\rm (cas\ discret)}\qquad L(x_1,\ \cdots,\ x_n)=\prod_{i=1}^nf_X(x_i)\ {\rm (cas\ continu)}. \]

Remarque 3. La fonction de vraisemblance est la probabilit√© ou la densit√© d’un v.a. de dimension \(n\) dont les composantes sont des copies mutuellement indépendantes de la v.a. \(X\). Nous retrouvons ici, de manière sous-jacente, le fait que toutes les observations ont été réalisées sous les mêmes conditions exactement. La vraisemblance est interprétée comme l’information apportée par l’échantillon sur la population.

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