1. Les observations et le modèle aléatoire.

Menu principal.
Sommaire général du site.

1. Les observations et le modèle aléatoire.

1.1. Variables - échantillons.
1.2. Applications.
1.3. Distributions statistiques.
1.9. Le modèle aléatoire.
  1.9.1. Espace mesurable. \(\ast\)
  1.9.2. Probabilité - Indépendance. \(\ast\)
  1.9.3. Variables aléatoires. \(\ast\)
  1.9.4. Vecteurs aléatoires. \(\ast\)
  1.9.5. Indépendance - Vraisemblance.
  1.9.6. Moments d’une v.a. .
  1.9.7. Moments et dépendances d’un v.a. de dim. 2. \(\ast\)
  1.9.8. Moments et dépendances d’un v.a. de dim. p. \(\ast\)

Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.

---

© Photis NOBELIS, 2009 à .
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.

---

1.9.5. Indépendance et fonction de vraisemblance.

Nous étendons la notion d’indépendance aux variables aléatoires.

Définition 1. Deux v.a. réelles \(X,\ Y\), définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\ {\cal A},\ P)\), sont stochastiquement indépendantes ou indépendantes si la condition suivante est satisfaite :

• \(\forall A,\ B \in {\cal B},\quad P(X\in A,\ Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B).\)

Remarque 1. De manière analogue à celle des événements mutuellement indépendants, nous avons la notion de v.a. mutuellement indépendantes.

Propriété 1. Un critère de l’indépendance de deux v.a. est que la fonction de répartition du couple soit le produit des fonctions de répartition de chaque variable, c’est-à-dire :

• \(\forall (x,\ y)\in \mathbb{R}^2, \quad F_{(X,\ Y)}(x,\ y)=F_X(x)F_Y(y).\)

Remarque 2. Pour les deux types usuels de v.a. l’indépendance s’écrira de la manière suivante.

\(1.\) Les v.a. discrètes : soit \(X\) et \(Y\) deux v.a. dont les lois sont définies par \(\lbrace (x_j,\ p_j)\ :\ j\in \mathbb{N}\rbrace\) et \(\lbrace (y_{j^{\prime}},\ q_{j^{\prime}})\ :\ j^{\prime}\in \mathbb{N}\rbrace\). Alors \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si et seulement si :

• \(\forall j,\ j^{\prime} \in \mathbb{N},\quad P(X=x_j,\ Y=y_{j^{\prime}})=p_jq_{j^{\prime}}.\)

\(2.\) Les v.a. continues : soit \(X\) et \(Y\) deux v.a. continues dont les lois sont définies par les densités \(f_X(x)\) et \(f_Y(y)\). Alors \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si et seulement si :

• \(\forall (x,\ y) \in \mathbb{R}^2,\quad f_{(X,\ Y)}(x,\ y)=f_X(x)f_Y(y).\)

Nous terminons cette page avec une notion importante en Statistique.

Définition 2. Soit \(x_{\bullet}=(x_1,\ \cdots,\ x_n)\) un \(n\)−échantillon d’une v.a. \(X\). Nous appelons fonction de vraisemblance de cet échantillon l’expression :

• \(L(x_1,\ \cdots,\ x_n)=\displaystyle\prod_{j=1}^nP(X=x_j)\quad\) (cas discret) \(\displaystyle\quad L(x_1,\ \cdots,\ x_n)=\prod_{j=1}^nf_X(x_j)\quad\) (cas continu).

Remarque 3. La fonction de vraisemblance est la probabilité ou la densité d’un v.a. de dimension \(n\) dont les composantes sont des copies mutuellement indépendantes de la v.a. \(X\). Nous retrouvons ici, de manière sous-jacente, le fait que toutes les observations ont été réalisées sous les mêmes conditions exactement. La vraisemblance est interprétée comme l’information apportée par l’échantillon sur la population.

Haut de la page.