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1. Les observations.

1.9.6. Moments d’une v.a. .

Soit \( X\) une v.a. et \( h\) une fonction telle que \( h(X) \) soit aussi une v.a.. Sauf mention contraire, nous supposerons que toutes les espérances mentionnées dans cette page existent.

Définition 1. Nous appelons \(h\)-moment théorique de \(X\) le nombre :

\begin{align} {\mathbb E}\lbrack h(X)\rbrack & = \sum_{j=1}^{\infty} h(x_j)P(X=x_j)\quad (\it cas\ discret),\\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)f(t) dt \quad (\it cas\ continu). \end{align}

Interprétation. Pour tous les échantillons \(x_{\bullet}=(x_1, x_2, \cdots)\) de \(X\) que nous pouvons observer, la loi forte des grands nombres nous donne :

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^nh(x_j)={\mathbb E}\lbrack h(X)\rbrack, \]

Ainsi pour tout échantillon observable, la moyenne arithmétique des \(h(x_j)\) converge vers le \(h\)-moment de \(X\).

Exemple 1. Soit \({\cal L}(X)={\cal U}(N)\), loi uniforme discrète de paramètre \(N\), alors un calcul simple nous donne :

\[ {\mathbb E}\lbrack \ln(X)\rbrack =\sum_{j=1}^N\frac{1}{N}\ln(j)=\frac{1}{N}\ln(N!).\quad \square \]

Exemple 2. Soit \({\cal L}(X)={\cal U}(\rbrack 0\ ;\ 0,5\lbrack)\), loi uniforme continue, alors nous avons :

\[ {\mathbb E}\lbrack \sin(2\pi X)\rbrack =2\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sin(2\pi t)dt=\frac{2}{\pi}.\quad \square \]

Le \(h\)-moment d’une v.a. admet des noms différents selon la fonction \(h\) utilisée.

Définition 2. Nous appelons espérance mathématique, ou encore moyenne théorique le nombre :

\begin{align} {\mathbb E}\lbrack X\rbrack & = \sum_{j=1}^{\infty} x_jP(X=x_j)\quad (\it cas\ discret),\\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} tf(t) dt \quad (\it cas\ continu). \end{align}

Si \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack= 0\), alors \(X\) est dite centrée.

Propriété 1. Pour tous nombres \(a,\ b\in {\mathbb R}\) nous avons \({\mathbb E}\lbrack aX+b\rbrack=a{\mathbb E}\lbrack X\rbrack+b\).

Exemple 3. Soit \({\cal L}(X)={\cal B}(1\ ;\ p)\), loi de Bernoulli de paramètre \(p\). Il est facile de constater que par définition \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack= 0\times P(X=0)+1\times P(X=1)=p. \quad \square\)

Exemple 4. Soit \({\cal L}(X)={\cal CA}(x_0\ ;\ \alpha)\), loi de Cauchy de paramètres \(\alpha\) et \(x_0 \). Alors \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack\) s’écrit comme une intégrale qui diverge ; c’est-à-dire que la moyenne théorique de \(X\) n’existe pas. \(\quad \square\)

Exemple 5. Soit \({\cal L}(X)={\cal PA}(\alpha\ ;\ x_0)\), loi de Pareto de paramètres \(\alpha,\ x_0 \in{\mathbb R}_+^{\star}\). Alors

\[ {\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\int_{x_0}^{+\infty}\frac{t\alpha x_0^{\alpha}}{t^{\alpha+1}}dt= \cases{ x_0\Big\lbrack \ln(t)\Big\rbrack _{x_0}^{+\infty} & \text{si}\ \alpha=1, \cr \alpha x_0^{\alpha}\left\lbrack -\frac{1}{(\alpha-1)t^{\alpha-1}}\right\rbrack_{x_0}^{+\infty} & \text{si} \ 1 \not= \alpha. } \]

Cette intégrale diverge lorsque \(\alpha\leq 1\). Si \(1 < \alpha\), elle converge et \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\displaystyle \frac{\alpha x_0}{\alpha-1}\). \(\quad \square\)

Définition 3. Soit \(k\in{\mathbb N}\), nous appelons moment d’ordre \(k\) le nombre :

\begin{align} M_k\lbrack X\rbrack={\mathbb E}\lbrack X^k\rbrack & = \sum_{j=1}^{\infty} x_j^kP(X=x_j)\quad (\it cas\ discret),\\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} t^kf(t) dt \quad (\it cas\ continu). \end{align}

Nous appelons moment centré d’ordre \(k\) le nombre :

\begin{align} \mu_k\lbrack X\rbrack={\mathbb E}\lbrack (X-{\mathbb E}\lbrack X\rbrack)^k\rbrack & = \sum_{j=1}^{\infty} (x_j-{\mathbb E}\lbrack X\rbrack)^kP(X=x_j)\quad (\it cas\ discret),\\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} (t-{\mathbb E}\lbrack X\rbrack)^kf(t) dt \quad (\it cas\ continu). \end{align}

En particulier, le moment centré d’ordre \(2\) est la variance théorique \({\mathbb V}ar\lbrack X\rbrack=\sigma^2\lbrack X\lbrack\) et sa racine carré \(\sigma\lbrack X\rbrack\) l’écart théorique de \(X\).

Lorsque cela a un sens, nous pouvons considérer des moments d’ordre \(k\in {\mathbb R}\).

Propriété 2. Pour tous nombres \(a,\ b\in {\mathbb R}\) nous avons \({\mathbb V}ar\lbrack aX+b\rbrack=a^2{\mathbb V}ar\lbrack X\rbrack\) et \(\sigma\lbrack aX+b\rbrack=\mid a\mid\sigma\lbrack X\rbrack\).

Exemple 6. Nous reprenons l’Exemple 1, soit \({\cal L}(X)={\cal U}(N)\), loi uniforme discrète de paramètre \(N\), nous avons alors :

\[ \sum_{j=1}^N\frac{1}{N}j^k=\frac{1}{N}(1+2^k+3^k+\cdots +N^k). \]

Les formules bien connues pour \(1\leq k\leq 3\) impliquent :

\[ {\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\frac{N+1}{2},\quad {\mathbb E}\lbrack X^2\rbrack=\frac{(N+1)(2N+1)}{6},\quad {\mathbb E}\lbrack X^3\rbrack=\frac{N(N+1)^2}{4}. \]

Pour les autres valeurs de \(k\), nous utilisons le fait que la somme précédente est un polynĂ´me de degré \(k+1\) en \(N\). Les coefficients de celui-ci sont les solutions d’un système de \(k\) équations linéaires établies en posant successivement \(N=0, 1, \cdots, k-1. \quad \square\)

Exemple 7. Soit \({\cal L}(X)={\cal N}(\mu\ ;\ \sigma^2)\), loi Normale de paramètres \(\mu\) et \(\sigma\), nous avons :

\[ \mu_k\lbrack X\rbrack={\mathbb E}\lbrack (X-\mu)^k\rbrack= \cases{ 0 & \text{si \(\ k=2m+1\)}, \cr \frac{(2m)!\sigma^{2m}}{m!2^m} & \text{si \(\ k=2m\)}. } \]

Un changement de variable nous donne

\[ \mu_k\lbrack X\rbrack={\mathbb E}\lbrack (X-\mu)^k\rbrack=\frac{2^{\frac{k}{2}}\sigma^k}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} t^k\exp{(-t^2)} dt. \]

Pour \(k=2m+1\), la fonction à intégrer étant impaire, nous avons le premier résultat. Pour \(k=2m\), il suffit de se ramener à une intégrale de type Gamma. \(\quad \square\)

Exemple 8. Soit \({\cal L}(X)={\cal PA}(\alpha\ ;\ x_0)\), loi Pareto de paramètres \(\alpha\) et \(x_0 \). Alors, pour tout nombre réel \(\beta < \alpha\), nous avons :

\[ {\mathbb E}\lbrack X^{\beta}\rbrack=\int_{x_0}^{+\infty}\frac{t^{\beta}\alpha x_0^{\alpha}}{t^{\alpha+1}}dt=\alpha x_0^{\alpha}\left\lbrack -\frac{1}{(\alpha-\beta)t^{\alpha-\beta}}\right\rbrack_{x_0}^{+\infty}= \frac{\alpha}{\alpha-\beta}x_0^{\beta}. \]

Nous en déduisons :

Propriété 3. Si \(X\) est positive alors :

\[ {\mathbb E}\lbrack X^k\rbrack = \int_0^{+\infty} kt^{k-1}P(X\geq t)dt. \]

Il suffit d’écrire, par exemple pour le cas continu :

\[ {\mathbb E}\lbrack X^k\rbrack = \int_0^{+\infty} t^kf(t)dt=\int_0^{+\infty}f(t)dt\int_0^tku^{k-1}du, \]

puis d’appliquer le théorème de Fubini. \(\quad \square\)

Exemple 9. Soit \({\cal L}(X)={\cal E}(\beta)\), loi Exponentielle de paramètre \(\beta\) ; pour tout \( k\in{\mathbb R}^{\star}\) nous avons :

\[ M_k\lbrack X\rbrack={\mathbb E}\lbrack X^k\rbrack=\frac{\Gamma(k+1)}{\beta^k}. \]

Comme ici \(P(X \geq t)=\exp(-\beta t)\) la Propriété 3 nous donne directement le résultat. \(\quad \square\)

Définition 4. Nous appelons fonction génératrice des moments de la v.a. X la fonction définie, pour tout \(t\) dans un intervalle ouvert contenant \(0\) dans \({\mathbb R}\), lorsque ce moment existe, par :

\[ g_X(t)={\mathbb E}\lbrack\exp(tX)\rbrack. \]

Remarque 1. Lorsqu’elle existe, la fonction génératrice des moments détermine entièrement la loi de \(X\). Pour \(t=0\) le moment précédent existe toujours. Mais dans la définition nous exigeons l’existence dans un voisinage de \(t=0\). Ceci n’est pas toujours le cas, comme par exemple les lois de Pareto. Nous vérifions que ces dernières n’admettent pas de fonction génératrice des moments.

Exemple 10. Nous considérons l’Exemple 6 : soit \({\cal L}(X)={\cal N}(\mu\ ;\ \sigma^2)\), loi Normale de paramètres \(\mu\) et \(\sigma\), nous avons :

\[ g_X(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\big(tu-\frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2}\big)du=\exp\big(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\big),\quad \forall t\in{\mathbb R}. \]

En effet l’égalité :

\[ tu-\frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2}=-\frac{(u-(\mu+t\sigma^2))^2}{2\sigma^2}+\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}, \]

nous permet de faire apparaître dans l’intégrale la densité de la loi \({\cal L}(X)={\cal N}(\mu+t\sigma^2\ ;\ \sigma^2)\) et d’en déduire le résultat. \(\square\)

Propriété 4. Soit une v.a. \(X\) admettant une fonction génératrice des moments \(g_X(t)\) et \(c_X(t)\) sa fonction caractéristique. Alors le moment d’ordre \(k\) existe et \(M_k\lbrack X^k\rbrack=g^{(k)}_X(0)=i^kc^{(k)}_X(0)\), où \(i^2=-1\).

Ce résultat s’obtient par dérivations sous la somme ou sous l’intégrale. \(\quad \square\)

Remarque 2. Une v.a. peut admettre des moments de tous ordres sans admettre de fonction génératrice des moments. La suite des moments d’une v.a. ne détermine pas sa loi.

Exemple 11. Pour la loi Normale de paramètres \(\mu\) et \(\sigma\) de l’exemple précédent nous déduisons que , pour tout \(t\in{\mathbb R}\) :

\[ g_X^{\prime}(t)=(\mu+\sigma^2t)g_X(t),\quad g_X^{\prime\prime}(t)=(\sigma^2+(\mu+\sigma^2t)^2)g_X(t),\quad g_X^{\prime\prime\prime}(t)=(3\sigma^2+(\mu+\sigma^2t)^2)(\mu+\sigma^2t)g_X(t). \]

Ce qui nous donne \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\mu,\ {\mathbb E}\lbrack X^2\rbrack=\sigma^2+\mu^2,\ {\mathbb E}\lbrack X^3\rbrack=3\sigma^2+\mu^3\) ; d’où finalement \({\mathbb V}ar\lbrack X\rbrack=\sigma^2\) et \({\mathbb E}\lbrack (X-\mu)^3\rbrack=0.\quad \square\)

Exemple 12. Soit \({\cal L}(X)={\cal B}(n\ ;\ p)\), loi Binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) ; nous avons, pour tout \(t\in{\mathbb R}\) :

\[ g_X(t)=\sum_{j=0}^nC_n^j\exp(jt)p^j(1-p)^{n-j}=(1-p+p\exp t)^n. \]

Les dérivées première et seconde sont les suivantes :

\begin{eqnarray} g_X^{\prime}(t)&=&np\exp(t)(1-p+p\exp t)^{n-1}& \\ g_X^{\prime\prime}(t)&=&n(n-1)p^2\exp(2t)(1-p+p\exp t)^{n-2}+np\exp(t)(1-p+p\exp t)^{n-1}&. \end{eqnarray}

Ces expressions impliquent \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=np,\ {\mathbb E}\lbrack X^2\rbrack=(np)^2+np-np^2\) et \({\mathbb V}ar\lbrack X\rbrack=np(1-p).\quad \square\)

Exemple 13. Soit \({\cal L}(X)={\cal P}(\lambda)\), loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) ; nous avons, pour tout \(t\in{\mathbb R}\) :

\[ c_X(t)=\sum_{j=0}^{+\infty}\exp(ijt)\exp(-\lambda)\frac{\lambda^j}{j!}=\exp(\lambda(\exp(it)-1)). \]

Les dérivées première et seconde sont les suivantes :

\begin{eqnarray} c_X^{\prime}(t)&=&i\lambda \exp(it)c_X(t) \\ c_X^{\prime\prime}(t)&=&-\lambda\exp(it)(1+\lambda\exp(it))c_x(t). \end{eqnarray}

Ces expressions nous permettent d’aboutir à \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\lambda,\ {\mathbb E}\lbrack X^2\rbrack=\lambda^2+\lambda\) et \({\mathbb V}ar\lbrack X\rbrack=\lambda.\quad \square\)

Définition 5. Pour tout \(k\in {\mathbb N}^{\star}\), nous appelons moment factoriel d’ordre \(k\) de la v.a. X le nombre :

\[ MF_k\lbrack X\rbrack={\mathbb E}\lbrack X(X-1)\cdots(X-(k-1))\rbrack. \]

Exemple 14. Soit \({\cal L}(X)={\cal HY}(N_1\ ;\ N-N_1\ ;\ n)\), loi Hypergéométrique de paramètres \(N,\ N_1,\ n\) ; nous avons, pour tout \(k=1,\ \cdots,\ n\) :

\[ MF_k\lbrack X\rbrack = N_1(N_1-1)\cdots(N_1-(k-1))\frac{C_{N-k}^{n-k}}{C_N^n}. \]

Pour le voir, nous appliquons l’identité de Vandermonde et la relation \(mC_{l}^m=lC_{l-1}^{m-1}\). Nous en déduisons :

\begin{align} MF_1\lbrack X\rbrack&={\mathbb E}\lbrack X\rbrack = N_1\frac{C_{N-1}^{n-1}}{C_N^n} = \frac{nN_1}{N}, \\ MF_2\lbrack X\rbrack&={\mathbb E}\lbrack X(X-1)\rbrack=N_1(N_1-1)\frac{C_{N-2}^{n-2}}{C_N^n} =\frac{n(n-1)N_1(N_1-1)}{N(N-1)}. \end{align}

Nous retrouvons alors le résultat :

\[ {\mathbb V}ar\lbrack X\rbrack=n\frac{N_1}{N}(1-\frac{N_1}{N})\frac{N-n}{N-1}. \quad \square \] Haut de la page.