1. Les observations et le modèle aléatoire.

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1. Les observations et le modèle aléatoire.

1.1. Variables - échantillons.
1.2. Applications.
1.3. Distributions statistiques.
1.9. Le modèle aléatoire.
  1.9.1. Espace mesurable. \(\ast\)
  1.9.2. Probabilité - Indépendance. \(\ast\)
  1.9.3. Variables aléatoires. \(\ast\)
  1.9.4. Vecteurs aléatoires. \(\ast\)
  1.9.5. Indépendance - Vraisemblance.
  1.9.6. Moments d’une v.a..
  1.9.7. Moments et dépendances d’un v.a. de dim. 2. \(\ast\)
  1.9.8. Moments et dépendances d’un v.a. de dim. p. \(\ast\)

Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.

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© Photis NOBELIS, 2009 à .
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.

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1.9.1. Espace mesurable. \(\ast\)

Nous donnons des éléments sur le vocabulaire et les fondements de la théorie des probabilités qui nous permettront de définir les outils de la Statistique.

Définition 1. Nous appelons expérience aléatoire toute expérience dont le résultat exact n’est pas connu a priori, mais dont nous connaissons l’ensemble des résultats possibles. Cet ensemble, noté \(\Omega\), est appelé ensemble fondamental. Un résultat possible, noté \(\omega\), est appelé épreuve.

Remarque 1. La notion d’expérience aléatoire est à opposer à celle d’expérience déterministe, pour laquelle le résultat est connu à l’avance exactement.

Définition 2. Nous dirons qu’un événement est réalisé si la propriété qui le décrit est satisfaite par l’épreuve observée lors de l’expérience.

Remarque 2. Nous sommes ainsi amenés à confondre un événement avec le sous-ensemble de \(\Omega\) contenant toutes les épreuves dont l’observation conduit à la réalisation de l’événement. Ainsi toutes les opérations sur les sous-ensembles correspondent à des opérations sur les événements. Nous avons précisément les définitions suivantes.

Définition 3. L’ensemble \(\Omega\) est l’événement certain. L’ensemble \(\emptyset\) est l’événement impossible. L’événement contraire d’un événement A\) est réalisé lorsque \(A\) ne l’est pas ; nous le notons \(A^c\) et nous l’appelons complémentaire de \(A\). La conjonction ou intersection des événements \(A\) et \(B\), notée \(A\cap B\), est réalisée lorsque \(A\) et \(B\) sont réalisés simultanément. La jonction ou réunion des événements \(A\) et \(B\), notée \(A\cup B\), est réalisée lorsque \(A\) ou \(B\) ou les deux événements sont réalisés. Deux événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles ou disjoints si \(A\cap B=\emptyset\).

Remarque 3. Il existe des sous-ensembles de \(\Omega\) qui ne sont pas des événements. En fait l’ensemble des événements sur lequel seront fondés tous les modèles statistiques est le suivant :

Définition 4. Un ensemble \({\cal A}\) d’événements, définis sur un ensemble d’épreuves \(\Omega\) est appelé \(\sigma-\)algèbre ou tribu s’il satisfait aux trois propriétés suivantes :

•  \(\Omega \in {\cal A},\)
•  \(A\in {\cal A} \quad \Rightarrow \quad A^c\in {\cal A},\)
•  \(A_1,\ A_2,\ \cdots \in {\cal A}\quad \Rightarrow \quad \displaystyle\bigcup_{j=1}^{\infty} A_j \in {\cal A}.\)

Le couple \((\Omega,\ {\cal A})\) est appelé espace mesurable.

Interprétation. Une \(\sigma-\)algèbre est une famille d’événements possibles, réalisables, qui est fermée pour les opérations de passage au complémentaire et de réunion.

Exemples. Considérons comme ensemble d’épreuves \(\mathbb {N}\), l’ensemble des nombres naturels, et comme \(\sigma-\)algèbre l’ensemble des sous-ensembles de \(\mathbb {N}\), noté \({\cal P}(\mathbb {N})\). Autre exemple, considérons comme ensemble d’épreuves \(\mathbb {R}\), l’ensemble des nombres réels, et la classe des boréliens \({\cal B}={\cal B}(\mathbb {R})\), engendrée, par exemple, par les intervalles ouverts, qui est une \(\sigma-\)algèbre. Notons que \({\cal B}{\subset} {\cal P}(\mathbb {R})\) strictement.

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