Tests sur une moyenne théorique

7.5.1.c. Tests asymptotiques sur une moyenne théorique - Contre-hypothèses intervalles finis.

Nous présentons ici des tests asymptotiques pour les Alternatives 4 concernant la moyenne théorique d’une v.a. de loi inconnue. Nous utilisons, comme pour l’estimation d’une moyenne théorique, des méthodes asymptotiques générales, forcément approximatives. Nous supposerons donc que \(n\) est supérieur à \(50\). Les différents risques et valeurs critiques sont établis pour \(n\rightarrow+\infty\) ; ces résultats devront être interprétés avec réserve. Un exemple est donnés.

Propriété 1. Considérons une v.a. \(X\) dont la loi est inconnue. Nous supposons qu’elle admet une variance théorique, \({\mathbb V}ar\lbrack X\rbrack=\sigma^2 < \infty\), et donc également une moyenne théorique, \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\mu\). Soit \(X_{\bullet}=(X_1,\ \cdots,\ X_n)\) un \(n\)-échantillon de \(X\). Nous considérons les statistiques :

\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nX_j,\quad S_c^2(X_{\bullet}) = \frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n(X_j-\overline{X})^2,\)

moyenne et variance corrigée empiriques. Nous avons les résultats suivants :

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} {\cal L}_{\mu, \sigma}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)={\cal N}(0\ ;\ 1),\ \) c’est-à-dire \(\ \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}P_{\mu, \sigma}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\leq t\right)=\Phi(t),\ \forall t\in {\mathbb R}\).
\(S_c(X_{\bullet})\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}\sigma\).
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} {\cal L}_{\mu}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{S_c(X_{\bullet})}\right)={\cal N}(0\ ;\ 1)\).

Nous notons \({\cal N}(0\ ;\ 1)\) la loi Normale Standard et \(\Phi\) sa f.r..

Nos résultats sont fondés sur la condition d’existence de \(\sigma^2\), la Propriété 3 dans l’estimation d’une moyenne théorique, le T.L.C. et la loi Faible des Grands Nombres.\(\ \square\)

Alternative 4.

Soit \(\mu_1, \mu_2\in{\mathbb R},\ \mu_1 < \mu_2\) donnés, tels que \(\mu_1 < \mu_2\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) seuil fixé. Pour tester l’alternative :

\({\cal H}_0^{(4)}=\lbrace\mu\notin\rbrack\mu_1\ ;\ \mu_2\lbrack\rbrace\quad\) contre \(\quad{\cal H}_1^{(4)}=\lbrace \mu\in\rbrack\mu_1\ ;\ \mu_2\lbrack\rbrace\),

ainsi que toutes les Alternatives 4 associées, nous considérons le test asymptotique \(\psi^{(4)}_{\infty}(x_{\bullet})=I_{\rbrack c_1\ ;\ c_2\lbrack}(\overline{x})\), où \(c_1=\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-t_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) et \(c_2=\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}+t_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) avec \(t_{\alpha}\) solution de l’équation critique en \(t\) :

\[ g_4(t)=\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)+t\right)-\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)-t\right)=\alpha. \]

Ainsi en théorie :

si \(\overline{x} \in \rbrack c_1\ ;\ c_2\lbrack\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(4)}\) est vraie» ;
si \(\overline{x} \notin \rbrack c_1\ ;\ c_2\lbrack\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(4)}\) est vraie».

L’écart type \(\sigma\) étant en général inconnu, nous l’estimons par \(S_c(X_{\bullet})\), qui est un estimateur convergent. Nous obtenons des estimations \(\widehat{t}_{\alpha}(x_{\bullet}),\ \widehat{c}_1(x_{\bullet})\) et \(\widehat{c}_2(x_{\bullet})\) de \(t_{\alpha}\) et des valeurs critiques \(c_1\) et \(c_2\) respectivement, avec \(\widehat{t}_{\alpha}(x_{\bullet})\) solution de l’équation critique en \(t\) :

\[ \widehat{g}_4(t)=\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\frac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)+t\right)-\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\frac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)-t\right)=\alpha, \] et \[ \widehat{c}_1(x_{\bullet})=\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\widehat{t}_{\alpha}(x_{\bullet})\frac{S_c(x_{\bullet})}{\sqrt{n}} \quad {\rm et} \quad \widehat{c}_2(x_{\bullet})=\frac{\mu_1+\mu_2}{2}+\widehat{t}_{\alpha}(x_{\bullet})\frac{S_c(x_{\bullet})}{\sqrt{n}} \]

Ainsi en pratique :

si \(\overline{x} \in \rbrack \widehat{c}_1(x_{\bullet})\ ;\ \widehat{c}_2(x_{\bullet})\lbrack\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(4)}\) est vraie» ;
si \(\overline{x} \notin \rbrack\widehat{c}_1(x_{\bullet})\ ;\ \widehat{c}_2(x_{\bullet})\lbrack\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(4)}\) est vraie».

Remarque 1. Si pour l’utilisateur, décider à tort que la moyenne théorique d’une v.a. \(X\) de loi inconnue est dans un intervalle fixé a les conséquences les plus défavorables, c’est sur ce test \(\psi^{(4)}_{\infty}(X_{\bullet})\) qu’il doit fonder sa démarche. De plus le test \(\psi^{(4)}_{\infty}\) au seuil \(\alpha\) est identique au test \(1-\psi^{(3)}_{\infty}\) au seuil \(1-\alpha\) défini pour les Alternatives 3. Le choix du test est fondamental.

Remarque 2. Nous constatons que \(g_4(0)=0,\ \displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty}g_4(t)=1\) ; la fonction \(g_4\) étant continue et croissante, nous en déduisons l’existence et l’unicité de \(t_{\alpha}\). Il en est de même pour \(\widehat{g}_4(t)\) et \(\widehat{t}_{\alpha}\).

Propriété 2. Le test \(\psi^{(4)}_{\infty}\) satisfait à :

Pour tout \(\mu\notin\rbrack\mu_1\ ;\ \mu_2\lbrack\), nous avons \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}{\mathbb E}_{\mu}\lbrack\psi^{(4)}_{\infty}(X_{\bullet})\rbrack=\lim_{n\rightarrow +\infty}pu_{\psi^{(4)}}(\mu) \leq \lim_{n\rightarrow +\infty}pu_{\psi^{(4)}}(\mu_1)=\lim_{n\rightarrow +\infty}pu_{\psi^{(4)}}(\mu_2)=\alpha\) ; le test est asymptotiquement de seuil \(\alpha\).
Pour tout \(\mu\in\rbrack\mu_1\ ;\ \mu_2\lbrack\), nous avons \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}pu_{\psi^{(4)}}(\mu)\geq \alpha\) ; le test est asymptotiquement sans biais à ce seuil.
Une approximation de la fonction puissance asymptotique au point \(\mu\) est donnée par

\[ pu_{\psi^{(4)}_{\infty}}(\mu)\approx\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)+t_{\alpha}\right)- \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)-t_{\alpha}\right), \]

Une estimation convergente de cette approximation est :

\[ \widehat {pu}_{\psi^{(4)}_{\infty}}(\mu)\approx\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)+\widehat{t}_{\alpha}(x_{\bullet})\right)- \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)-\widehat{t}_{\alpha}(x_{\bullet})\right), \]

L’étude des variations de la fonction

\[ h_{4}(\mu)=\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)+t_{\alpha}\right)- \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)-t_{\alpha}\right), \]

et la symétrie de la f.r. de la loi Normale Standard nous donnent ces résultats.\(\quad \square\)

Remarque 3. Si nous avons observé \(\overline{X}=\overline{x}\), alors une approximation de la puissance a posteriori asymptotique est :

\[ pu_{\psi^{(4)}_{\infty}}(\overline{x})\approx\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\overline{x}\Big)+t_{\alpha})\right)- \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\overline{x}\Big)-t_{\alpha})\right). \]

Une estimation de cette approximation est :

\[ \widehat {pu}_{\psi^{(4)}_{\infty}}(\overline{x})\approx\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\overline{x}\Big)+\widehat{t}_{\alpha}(x_{\bullet})\right)- \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\overline{x}\Big)-\widehat{t}_{\alpha}(x_{\bullet})\right), \]

Propriété 3. Si nous avons observé \(\overline{X}=\overline{x}\), alors la \(p-\)valeur du test est :

\[ p_{val}=\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)+t_{\alpha}\right)-\min\left\lbrace\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\overline{x}-\mu_1\Big)\right)\ ;\ \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\mu_2-\overline{x}\Big)\right)\right\rbrace. \]

Ainsi en théorie :

si \(p_{val} < \alpha\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(4)}\) est vraie»
si \(\alpha \leq p_{val}\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(4)}\) est vraie».

Une estimation convergente de cette \(p-\)valeur est donnée par :

\[ \widehat{p}_{val}=\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}(\frac{\mu_2-\mu_1}{2})+\widehat{t}_{\alpha}\right)- \min\left\lbrace\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}(\overline{x}-\mu_1)\right)\ ;\ \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}(\mu_2-\overline{x})\right)\right\rbrace. \]

Ainsi en pratique :

si \(\widehat{p}_{val} < \alpha\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(4)}\) est vraie»
si \(\alpha \leq \widehat{p}_{val}\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(4)}\) est vraie».

Remarque 4. Pour réaliser le test \(\psi^{(4)}_{\infty}\) nous avons créé dans R la procédure Test4Asym1Moye. Pour calculer une approximation de la puissance asymptotique de ce test nous avons créé la procèdure Puis4Asym1Moye.

Exemple. Nous considérons l’Exemple 4 des dosages d’une substance dans un échantillon de \(n=150\) flacons. Nous nous proposons de tester l’alternative :

\({\cal H}_0^{(4)}=\lbrace\mu\notin\rbrack 573\ ;\ 575\lbrack\rbrace\quad\) contre \(\quad{\cal H}_1^{(4)}=\lbrace\mu\in\rbrack 573\ ;\ 575\lbrack\rbrace\).

Nous ne connaissons pas la loi de la v.a. \(X\) «quantité de subtance mesurée dans un flacon choisi au hasard dans la production». Nous utilisons le test asymptotique. Pour cela nous admettons que cette v.a. \(X\) admet une moyenne et une variance théoriques inconnues. Nous utilisons la procédure de la Remarque 4. Après l’avoir compilée («sourcée» dans R), nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_1, \mu_2\) et le seuil, \(\alpha=0,01\), à utiliser :

Test4Asym1Moye(Donnees[,1],573,575,0.01), réponse :
Test asymptotique de l'alternative : H_0^(4)={Mu ⩽ 573 ou 575 ⩽ Mu} contre H_1^(4)={ 573 < Mu < 575 }.
Taille de l'échantillon : 150 ; moyenne observée : 574.3 ; écart type observé : 3.04 .
Seuil asymptotique du test : 0.01 ; solution de l'équation critique : 1.702 .
Estimation des valeurs critiques : 573.6 et 574.4 .

Estimation de la p-valeur : 0.003337 .

Décision : «H_1^(4) est vraie».

Le test est significatif ; le risque est inférieur à \(0,01\), nous faisons confiance à notre décision. A noter que l’approximation de la puissance a posteriori asymptotique ne s’affiche que si la moyenne observée est dans \({\cal H}_1^{(4)}\) et si la décision est «\({\cal H}_0^{(4)}\) est vraie». Nous pouvons estimer l’approximation de la puissance asymptotique de ce test aux points \(\mu=574,3\) (moyenne observée) et \(574,1\) par exemple. Après avoir compilé («sourcée» dans R) la procédure correspondante de la Remarque 4 ci-dessus, nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_1=573,\ \mu_2=575\), le seuil \(\alpha=0,01\) et les valeurs où estimer la puissance \(\mu=574,3\) et \(\mu=574,1\) :

Puis4Asym1Moye(Donnees[,1],573,574,0.01,574.3), réponse : 0.6875 ,

Puis4Asym1Moye(Donnees[,1],573,574,0.01,574.1), réponse : 0.8855 ,

Dans l’affichage des résultats du test nous indiquons une estimation de la solution de l’équation critique. Les commandes suivantes permettent de créer la partie essentielle du graphique :

plot( function(Mu) Puis4Asym1Moye(Donnees[,1],573,575,0.01,Mu),572,576, xlab="mu",
ylab="pu", ylim=c(0,1), main="Fig. 1. Approximation de la puissance \n asymptotique du test 4.", col="green4");
segments( x0=c(573,575,574.3,574.1), y0=c(0,0,0.01,0,0.6875,0,0.8855),
x1=c(573,575,575,574.3,574.3,574.1,0), y1=c(0.01,0.01,0.01,0.6875,0.6875,0.8855,0.8855), col="blue");
points( x=c(573,575,574.3,574.1)), y=c(0.01,0.01,0.6875,0.8855), col="red", pch=".", cex=7);

réponse :

Le test est asymptotiquement de seuil \(0,01\) et sans biais. Nous avons marqué en rouge les points de coordonnées :
\((\mu_1\ ;\ \alpha)=(573\ ;\ 0,01),\ (\mu_2\ ;\ \alpha)=(575\ ;\ 0,01), \ (\overline{x}\ ;\ \widehat{pu}_{\psi^{(4)}_{\infty}}(\overline{x}))\approx(574,3\ ;\ 0,6875)\) et \((574,1\ ;\widehat{pu}_{\psi^{(4)}_{\infty}}(574,1)\approx(574,1\ ;\ 0,8855) \).\(\ \square\)

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7. Tests classiques d’hypothèses.

7. Tests classiques d’hypothèses.

7.5.1.c. Tests asymptotiques sur une moyenne théorique - Contre-hypothèses intervalles finis.