Tests sur une moyenne théorique, Alternatives 2 et 3.

7.5.1.b. Tests asymptotiques sur une moyenne théorique - Contre-hypothèses bilatérales.

Nous présentons des tests asymptotiques pour les Alternatives 2 et Alternatives 3 concernant la moyenne théorique d’une v.a. \(X\) de loi inconnue. Nous utilisons, comme pour l’estimation d’une moyenne théorique, des méthodes asymptotiques générales, forcément approximatives. Nous supposerons donc que \(n\) est spérieur à \(50\). Les différents risques et valeurs critiques sont établis pour \(n\rightarrow+\infty\) ; ces résultats devront être interprétés avec réserve. Dans chaque cas un exemple est donné.

Propriété 1. Considérons une v.a. \(X\) dont la loi est inconnue. Nous supposons qu’elle admet une variance théorique, \({\mathbb V}ar\lbrack X\rbrack=\sigma^2 < \infty\), et donc également une moyenne théorique, \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\mu\). Soit \(X_{\bullet}=(X_1,\ \cdots,\ X_n)\) un \(n\)-échantillon de \(X\). Nous considérons les statistiques :

\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nX_j,\quad S_c^2(X_{\bullet}) = \frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n(X_j-\overline{X})^2,\)

moyenne et variance corrigée empiriques. Nous avons les résultats suivants :

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} {\cal L}_{\mu, \sigma}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)={\cal N}(0\ ;\ 1),\ \) c’est-à-dire \(\ \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}P_{\mu, \sigma}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\leq t\right)=\Phi(t),\ \forall t\in {\mathbb R}\).
\(S_c(X_{\bullet})\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}\sigma\).
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} {\cal L}_{\mu}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{S_c(X_{\bullet})}\right)={\cal N}(0\ ;\ 1)\).

Nous avons noté \({\cal N}(0\ ;\ 1)\) la loi Normale Standard et \(\Phi\) sa f.r..

Nos résultats sont fondés sur la condition d’existence de \(\sigma^2\), la Propriété 3 de l’estimation d’une moyenne théorique, le T.L.C. et la loi Faible des Grands Nombres.\(\ \square\)

Alternative 2.

Soit \(\mu_0\in{\mathbb R}\) donné et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Pour tester l’alternative :

\({\cal H}_0^{(2)}=\lbrace\mu=\mu_0\rbrace\quad\) contre \(\quad{\cal H}_1^{(2)}=\lbrace \mu\not=\mu_0\rbrace\)

ainsi que les autres Alternatives 2 associées, nous considérons le test asymptotique \(\psi^{(2)}_{\infty}(x_{\bullet})=1-I_{\lbrack c_1\ ;\ c_2\rbrack}(\overline{x})\), où \(c_1=\mu_0-q_{1-\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) et \(c_2=\mu_0+q_{1-\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) avec \(q_{1-\frac{\alpha}{2}}\) le quantile d’ordre \(1-\dfrac{\alpha}{2}\) de la loi \({\cal N}(0\ ;\ 1)\). Ainsi en théorie :

si \(\overline{x}\notin\lbrack c_1\ ;\ c_2\rbrack\), alors nous décidons «\({\cal H}_1^{(2)}\) est vraie» ;
si \(\overline{x} \in\lbrack c_1\ ;\ c_2\rbrack\), alors nous décidons «\({\cal H}_0^{(2)}\) est vraie».

En général l’écart type \(\sigma\) est inconnu. Nous l’estimons par l’estimateur convergent \(S_c(X_{\bullet})\) et les nombres \(c_1\) et \(c_2\) peuvent être estimés par \(\widehat{c}_1=\mu_0-q_{1-\frac{\alpha}{2}}\dfrac{S_c(x_{\bullet})}{\sqrt{n}}\) et \(\widehat{c}_2=\mu_0+q_{1-\frac{\alpha}{2}}\dfrac{S_c(x_{\bullet})}{\sqrt{n}}\) respectivement. Ainsi en pratique :

si \(\overline{x}\notin\lbrack \widehat{c}_1\ ;\ \widehat{c}_2\rbrack\), alors nous décidons «\({\cal H}_1^{(2)}\) est vraie» ;
si \(\overline{x} \in\lbrack \widehat{c}_1\ ;\ \widehat{c}_2\rbrack\), alors nous décidons «\({\cal H}_0^{(2)}\) est vraie».

Remarque 1. Si pour l’utilisateur décider à tort que la moyenne théorique d’une loi inconnue n’est pas égale à une valeur donnée a les conséquences les plus défavorables, c’est sur ce test \(\psi^{(2)}_{\infty}(X_{\bullet})\) qu’il doit fonder sa démarche. Ce test est également la limite du test \(\psi^{(3)}_{\infty}\) décrit ci-après lorsque \(\mu_1=\mu_2=\mu_0\).

Propriété 2. Le test \(\psi^{(2)}_{\infty}\) satisfait à :

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}{\mathbb E}_{\mu_0}\lbrack\psi^{(2)}_{\infty}(X_{\bullet})\rbrack= \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}pu_{\psi^{(2)}_{\infty}}(\mu_0)=\alpha\) ; le test est asymptotiquement de seuil \(\alpha\).
Pour tout \(\mu\not=\mu_0\ , \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} pu_{\psi^{(2)}_{\infty}}(\mu)\) est supérieur à \(\alpha\) ; le test est asymptotiquement sans biais à ce seuil.
Pour tout \(\mu\), une approximation de la fonction puissance asymptotique est donnée par :
\(pu_{\psi^{(2)}_{\infty}}(\mu)\approx 1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\mu_0-\mu\Big)+q_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)+ \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\mu_0-\mu\Big)-q_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)\).
Une estimation convergente de cette approxomation est donnée par :
\(\widehat{pu}_{\psi^{(2)}_{\infty}}(\mu)\approx 1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\mu_0-\mu\Big)+q_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)+ \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\mu_0-\mu\Big)-q_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)\).

Un calcul simple sur la f.r. de la loi Normale Standard et l’appliquation de la Propriété 1 ci-dessus nous donnent ces résultats.\(\ \square\)

Remarque 2. Si nous avons observé \(\overline{X}=\overline{x}\) une approximation de la puissance a posteriori asymptotique est :

\(pu_{\psi^{(2)}_{\infty}}(\overline{x})\approx 1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\mu_0-\overline{x}\Big)+q_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)+ \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\mu_0-\overline{x}\Big)-q_{1-\frac{\alpha}{2}}\right).\)

Elle peut être estimée par :

\(\widehat{pu}_{\psi^{(2)}_{\infty}}(\overline{x})\approx 1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\mu_0-\overline{x}\Big)+q_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)+ \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\mu_0-\overline{x}\Big)-q_{1-\frac{\alpha}{2}}\right).\)

Propriété 3. Si nous avons observé \(\overline{X}=\overline{x}\), la \(p-\)valeur du test est \(p_{val}=2\left(1-\Phi\Big(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\mid\overline{x}-\mu_0\mid\Big)\right).\) Ainsi en théorie :

si \(p_{val} < \alpha\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(2)}\) est vraie»
si \(\alpha \leq p_{val}\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(2)}\) est vraie».

Elle peut être estimée par \(\widehat{p}_{val}=2\left(1-\Phi\Big(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\mid\overline{x}-\mu_0\mid\Big)\right).\) Ainsi en pratique :

si \(\widehat{p}_{val} < \alpha\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(2)}\) est vraie»
si \(\alpha \leq \widehat{p}_{val}\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(2)}\) est vraie».

Pour le voir, il suffit de faire apparaître \(1-\dfrac{\alpha}{2}=\Phi(q_{1-\frac{\alpha}{2}})\) dans les inégalités ci-dessus et d’effectuer un calcul direct. \(\ \square\)

Remarque 3. Pour réaliser le test \(\psi^{(2)}_{\infty}\) nous avons créé dans R la procédure Test2Asym1Moye. Pour calculer une estimation de la puissance de ce test nous avons créé la procèdure Puis2Asym1Moye.

Exemple 1. Nous considérons l’Exemple 4 des dosages d’une substance dans un échantillon de \(n=150\) flacons. Nous nous proposons de tester l’alternative :

\({\cal H}_0^{(2)}=\lbrace\mu=573\rbrace\quad\) contre \(\quad{\cal H}_1^{(2)}=\lbrace \mu\not=573\rbrace\).

Nous utilisons la procédure Test2Asym1Moye de la Remarque 3 ci-dessus. Après l’avoir compilée («sourcée» dans R), nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_0\) et le seuil à utiliser. Comme \(n=150\) nous fixons un seuil de \(\alpha=0,01\).

Test2Asym1Moye(Donnees[,1],573,0.01), réponse :
Test asymptotique de l'alternative : H_0^{(2)}={ Mu = 573 } contre H_1^{(2)}={ Mu non = 573 }.
Taille de l'échantillon : 150 ; moyenne observée : 574.33 ; écart type observé : 3.04 .
Seuil asymptotique du test : 0.01 .
Estimation des valeurs critiques : 572.36 et 573.64 .

Décision : «H_1^{(2)} est vraie.»

La \(p-\)valeur du test est : 9.05e-08 .
Estimation de la puissance a posteriori du test : 0.9972 .

Le test est significatif ; le risque est inférieur à \(0,01\) ; nous faisons confiance à notre décision : la moyenne théorique des dosages n’est pas égale à \(573\). La même conclusion s’obtient en comparant l’estimation de la \(p-\)valeur à \(0,01\). Comme la moyenne observée est, en général, différente de \(573\), une approximation de la puissance a posteriori asymptotique s’affiche. Nous pouvons calculer une approximation la puissance asymptotique de ce test au point \(\mu=574\), par exemple. Après avoir compilé («sourcée» dans R) la procédure correspondante de la Remarque 3 ci-dessus, nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_0=573,\) le seuil, \(\alpha=0,01\), et \(\mu=574\) :

Puis2Asym1Moye(Donnees[,1],573,0.01,574), réponse : 0.9269 .

Nous traçons le graphique d’une approximation de l’estimation de la fonction puissance. Voici les commandes que nous exécutons pour la partie essentielle du tracé :

plot( function(Mu) Puis2Asym1Moye(Donnees{,1],573,0.01,Mu),571,575, xlab="mu",
ylab="pu", ylim= c(0,1), main="Fig. 1. Approximation de la puissance\n asymptotique du test 2.", col="green4");
segments( x0=c(573,574,0,0), y0=c(0,0,0.01,0.9269), x1=c(573,574,573,574), y1=c(0.01,0.01,0.9269,0.01,0.9269), col="blue");
points( x=c(573,574), y=c(0.01,0.9269), col="red", pch=".", cex=7); réponse :

Le test est bien asymptotiquement de seuil \(0,01\) et sans biais. Nous avons marqué en rouge les points de coordonnées \((\mu_0\ ;\ \alpha)=(573\ ;\ 0,01)\) et \((\mu\ ;\ \widehat{pu}_{\psi^{(2)}_{\infty}}(\mu))\approx(574\ ;\ 0,9269)\).\(\ \square\)

Alternative 3.

Soit \(\mu_1, \mu_2\in{\mathbb R}\) donnés tels que \(\mu_1 < \mu_2\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Pour tester l’alternative :

\({\cal H}^{(3)}_0=\lbrace\mu\in\lbrack\mu_1\ ;\ \mu_2\rbrack\rbrace\quad\) contre \(\quad{\cal H}_1^{(3)}=\lbrace \mu\notin\lbrack\mu_1\ ;\ \mu_2\rbrack\rbrace\)

et les autres Alternatives 3 associés, nous considérons le test asymptotique \(\psi^{(3)}_{\infty}(x_{\bullet})=1-I_{\lbrack c_1\ ;\ c_2\rbrack}(\overline{x})\), où \(c_1=\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-t_{\alpha,n}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) et \(c_2=\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}+t_{\alpha,n}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) avec \(t_{\alpha,n}\) solution de l’équation critique en t :

\(g_3(t)=1-\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)+t\right)+\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\frac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)-t\right)=\alpha.\)

Ainsi en théorie :

si \(\overline{x}\notin\lbrack c_1\ ;\ c_2\rbrack\), alors nous décidons «\({\cal H}_1^{(3)}\) est vraie» ;
si \(\overline{x} \in\lbrack c_1\ ;\ c_2\rbrack\), alors nous décidons «\({\cal H}_0^{(3)}\) est vraie».

En général l’écart type \(\sigma\) est inconnu. Nous l’estimons par l’estimateur convergent \(S_c(X_{\bullet})\) et les nombres \(c_1\) et \(c_2\) peuvent être estimés par \(\widehat{c}_1=\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\widehat{t}_{\alpha,n}\dfrac{S_c(x_{\bullet})}{\sqrt{n}}\) et \(\widehat{c}_2=\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}+\widehat{t}_{\alpha,n}\dfrac{S_c(x_{\bullet})}{\sqrt{n}}\) respectivement avec \(\widehat{t}_{\alpha}\) solution de l’équation :

\(\widehat{g}_3(t)=1-\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\frac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)+t\right)+\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\frac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)-t\right) =\alpha.\)

Ainsi en pratique :

si \(\overline{x}\notin\lbrack \widehat{c}_1\ ;\ \widehat{c}_2\rbrack\), alors nous décidons «\({\cal H}_1^{(3)}\) est vraie» ;
si \(\overline{x} \in\lbrack \widehat{c}_1\ ;\ \widehat{c}_2\rbrack\), alors nous décidons «\({\cal H}_0^{(3)}\) est vraie».

Remarque 4. Si pour l’utilisateur décider à tort que la moyenne théorique d’une loi inconnue n’est pas dans un intervalle fixé a les conséquences les plus défavorables, c’est sur ce test \(\psi^{(3)}_{\infty}(X_{\bullet})\) qu’il doit fonder sa démarche. Ce test est la limite du test \(\psi^{(2)}_{\infty}\) décrit ci-avant lorsque \(\mu_1=\mu_2=\mu_0\). De plus le test \(\psi^{(3)}_{\infty}\) au seuil \(\alpha\) est identique au test \(1-\psi^{(4)}_{\infty}\) au seuil \(1-\alpha\) défini pour les Alternatives 4. Le choix du test est fondamental.

Remarque 5. L’étude de la fonction \(g_3(t)\) montre que la solution \(t_{\alpha,n}\) existe et elle est unique. Il en est de même pour son estimation, \(\widehat{g}_3\) étant continue.

Propriété 4. Le test \(\psi^{(3)}_{\infty}\) satisfait à :

Pour tout \(\mu\in\lbrack\mu_1\ ;\ \mu_2\rbrack\), nous avons \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}{\mathbb E}_{\mu}\lbrack\psi^{(3)}_{\infty}(X_{\bullet})\rbrack=pu_{\psi^{(3)}_{\infty}}(\mu) \leq pu_{\psi^{(3)}_{\infty}}(\mu_1)=pu_{\psi^{(3)}_{\infty}}(\mu_2)=\alpha\) ; le test est asymptotiquement de seuil \(\alpha\).
Pour tout \(\mu\notin\lbrack\mu_1\ ;\ \mu_2\rbrack\), nous avons \(pu_{\psi^{(3)}_{\infty}}(\mu)\) est supérieur à \(\alpha\) ; le test est asymptotiquement sans biais pour ce seuil.
Une approximation de la fonction puissance asymptotique au point \(\mu\) est donnée par :
\(pu_{\psi^{(3)}_{\infty}}(\mu)\approx 1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)+t_{\alpha,n}\right)+ \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)-t_{\alpha,n}\right)\).
Une estimation convergente de cette approximation est donnée par :
\(\widehat{pu}_{\psi^{(3)}_{\infty}}(\mu)\approx 1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)+\widehat{t}_{\alpha,n}\right)+ \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)-\widehat{t}_{\alpha,n}\right)\).

Pour le voir il suffit d’utiliser la Propriete 1 et d’étudier le sens de variation de la fonction :

\(h_3(\mu)=1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)+t_{\alpha,n}\right)+\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\mu\Big)-t_{\alpha,n}\right).\ \square\)

Remarque 6. Si nous avons observé \(\overline{X}=\overline{x}\), alors une approximation de la puissance a posteriori asymptotique est :

\(pu_{\psi^{(3)}_{\infty}}(\overline{x})\approx1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\overline{x}\Big)+t_{\alpha,n}\right)+ \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\overline{x}\Big)-t_{\alpha,n}\right)\).

Elle peut être estimée par :

\(\widehat{pu}_{\psi^{(3)}_{\infty}}(\overline{x})\approx 1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\overline{x}\Big)+\widehat{t}_{\alpha,n}\right)+ \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-\overline{x}\Big)-\widehat{t}_{\alpha,n}\right)\).

Propriété 5. Si nous avons observé \(\overline{X}=\overline{x}\), alors la \(p-\)valeur du test est :

\(p_{val}=1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\dfrac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)+t_{\alpha,n}\right)+ \min\left\lbrace\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\overline{x}-\mu_1\Big)\right) ;\ \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{\sigma}\Big(\mu_2-\overline{x}\Big)\right)\right\rbrace.\)

Ainsi en théorie :

si \(p_{val} < \alpha\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(3)}\) est vraie»
si \(\alpha \leq p_{val}\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(3)}\) est vraie».

Elle peut être estimée par :

\(\widehat{p}_{val}=1-\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\dfrac{\mu_2-\mu_1}{2}\Big)+\widehat{t}_{\alpha,n}\right)+ \min\left\lbrace\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\overline{x}-\mu_1\Big)\right)\ ;\ \Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{S_c(x_{\bullet})}\Big(\mu_2-\overline{x}\Big)\right)\right\rbrace.\)

Ainsi en pratique :

si \(\widehat{p}_{val} < \alpha\), nous décidons «\({\cal H}_1^{(3)}\) est vraie»
si \(\alpha \leq \widehat{p}_{val}\), nous décidons «\({\cal H}_0^{(3)}\) est vraie».

Pour le voir, il suffit de faire apparaître \(\alpha=g_3(t_{\alpha})\) dans les inégalités ci-dessus et d’effectuer un calcul direct. \(\ \square\)

Remarque 7. Pour réaliser le test \(\psi^{(3)}_{\infty}\) nous avons créé dans R la procédure Test3Asym1Moye. Pour calculer une approximation de la puissance asymptotique de ce test nous avons créé la procèdure Puis3Asym1Moye.

Exemple 2. Nous considérons l’Exemple 4 des dosages d’une substance dans un échantillon de \(n=150\) flacons. Nous nous proposons de tester l’alternative :

\({\cal H}_0^{(3)}=\lbrace\mu\in\lbrack 572,5\ ;\ 573,5\rbrack\rbrace\quad\) contre \(\quad{\cal H}_1^{(3)}=\lbrace \mu\notin\lbrack 572,5\ ;\ 573,5\rbrack\rbrace\).

Nous utilisons la procédure Test3Asym1Moye de la Remarque 7 ci-dessus. Après l’avoir compilée («sourcée» dans R), nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_1, \mu_2\) et le seuil à utiliser. Comme \(n=150\) nous fixons un seuil de \(\alpha=0,01\).

Test3Asym1Moye(Donnees[,1],572.5,573.5,0.01), réponse :
Test asymptotique de l'alternative : H_0^{(3)}={ 572.5 ⩽ Mu ⩽ 573.5 } contre H_1^{(3)}={ Mu < 572.5 ou 573.5 < Mu}.
Taille de l'échantillon : 150 ; moyenne observée : 574.3 ; écart type observé : 3.04 .
Seuil asymptotique du test : 0.01 ; solution de l'équation critique : 4.341 .
Estimation des valeurs critiques : 571.9 et 574.1 .

Décision : «H_1^{(3)} est vraie».

La p-valeur du test est : 0.0004335 .

Le test est significatif ; le risque est inférieur à \(0,01\), nous faisons confiance à notre décision : la moyenne théorique des dosages n’est pas comprise entre \(572,5\) et \(573,5\). A noter que l’approximation de la puissance a posteriori asymptotique ne s’affiche que si la moyenne observée est dans \({\cal H}_1^{(3)}\) et si la décision est «\({\cal H}_0\) est vraie». Nous pouvons avoir une approximation asymptotique la puissance de ce test au point \(\mu=574,3\) par exemple. Après avoir compilé («sourcée» dans R) la procédure correspondante de la Remarque 7 ci-dessus, nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_1=572.5,\ \mu_2=573.5\), le seuil, \(\alpha=0,01\), à utiliser et \(\mu=574,3\) :

Puis3Asym1Moye(Donnees[,1],572.5,573.5,0.01,574.3)), réponse : 0.815 .

Nous traçons une approximation du graphique de la fonction puissance asymptotique. Voici les commandes que nous exécutons pour la partie essentielle du tracer :

plot( function(Mu) Puis3Asym1Moye(Donnees{,1],572.5,573.5,0.01,Mu),571,575, xlab="mu",
ylab="pu", ylim= c(0,1), main="Fig. 2. Approximation de la puissance\n asymptotique du test 3.", col="green4");
segments( x0=c(572.5,573.5,574.3,0,0), y0=c(0,0,0,0.01,.815), x1=c(572.5,573.5,574.3,573.5,574.3), y1=c(0.01,0.01,.815,0.01,0.815), col="blue");
points( x=c(572.5,573.5,574.3), y=c(0.01,0.01,.815), col="red", pch=".", cex=7); réponse :

Estimation de la fonction puissance de l’Exemple 3.

Le test est bien de seuil \(0,01\) et sans biais. Nous avons marqué en rouge les points de coordonnées \((\mu_1\ ;\ \alpha)=(572,5\ ;\ 0,01),\ (\mu_2\ ;\ \alpha)=(573.5\ ;\ 0,01)\) et \((\overline{x}\ ;\ \widehat{pu}_{\psi^{(3)}_{\infty}}(\overline{x}))\approx(574,3\ ;\ 0,815)\).\(\ \square\)

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7. Tests classiques d’hypothèses.

7. Tests classiques d’hypothèses.

7.5.1.b. Tests asymptotiques sur une moyenne théorique - Contre-hypothèses bilatérales.