6.0. Généralités sur l’Estimation.
6.1. Propriétés d’un estimateur.
6.2. Méthodes d’estimation.
6.3. Estimation par intervalle.
6.3.1. Intervalle de prédiction.
6.3.2. Intervalle exact.
6.3.3. Intervalle par pivot.
6.3.4. Intervalle asymptotique.
6.3.5. Intervalle par f.r..
6.4. Estimation de caractéristiques.
6.5. Estimation d’une f.r. .
6.6. Estimation d’une densité.
6.7. Estimation des paramètres de lois.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Cette méthode générale est fondée sur la Proriété 3 des lois Uniformes Continues. Celle-ci nous permet d’écrire :
Propriété 1. Soit \(X\) une v.a. continue de f.r. \(F(x\ ;\ \theta)\). Alors \(-\ln(F(X\ ;\ \theta))\) est de loi Exponentielle \({\cal GA}(1\ ;\ 1)\). Donc, pour tout \(n-\)échantillon \(X_{\bullet}\), la statistique :
\[ T(X_{\bullet}\ ;\ \theta)=-\sum_{i=1}^n\ln(F(X_i\ ;\ \theta)), \]est de loi \({\cal GA}(n\ ;\ 1)\) qui ne dépend pas de \(\theta\) ; c’est une statistique pivotale.
Propriété 2. Soit \(I_{pred}({\cal GA}(n\ ;\ 1)\ ;\ \alpha)=\lbrack\underline{c}\ ;\ \overline{c}\rbrack\) un intervalle de prédiction de \(T\). Si \(F(x\ ;\ \theta)\) est monotone en \(\theta\) (par exemple décroissante) alors en notant \(\underline{\theta}\) et \(\overline{\theta}\) les solutions des deux équations :
\[ \underline{c}=-\sum_{i=1}^n\ln(F(x_i\ ;\ \underline{\theta})),\quad {\it et}\quad \overline{c}=-\sum_{i=1}^n\ln(F(x_i\ ;\ \overline{\theta})), \]nous avons, explicitement ou numériquement, l’intervalle de confiance de \(\theta\) :
\[ I_{conf}(\theta\ ;\ \alpha\ ;\ x_{\bullet})=\Big\lbrack \underline{\theta} ;\ \overline{\theta}\Big\rbrack. \]Si \(F(x\ ;\ \theta)\) est croissante en \(\theta\), alors les bornes de l’intervalle précédent sont inversées.
Exemple 1. Soit \(X\) une v.a. suivant une loi de Gumbel de paramètres \(\theta\in{\mathbb R},\ \delta=1\), c’est-à-dire que nous avons \({\cal L}(X)={\cal GU}(\theta\ ;\ 1)\). Alors :
\[ T(X_{\bullet}\ ;\ \theta)=-\sum_{i=1}^n\ln(F(X_i\ ;\ \theta))=\exp(\theta)\sum_{i=1}^n\exp(-X_i). \]Comme \(F(x\ ;\ \theta)= \exp(-\exp(-(t-\theta)))\) est décroissante en \(\theta\), avec les notations précédentes, nous obtenons l’intervalle de confiance :
\[ I_{conf}(\theta\ ;\ \alpha\ ;\ x_{\bullet})=\left\lbrack \ln\left(\frac{\underline{c}}{\sum_{i=1}^n\exp(-x_i)}\right) ;\ \ln\left(\frac{\overline{c}}{\sum_{i=1}^n\exp(-x_i)}\right)\right\rbrack, \]avec \(I_{pred}({\cal GA}(n\ ;\ 1)\ ;\ \alpha)=\lbrack \underline{c}\ ;\ \overline{c}\rbrack\). \(\quad\square\)
Haut de la page.