6.0. Généralités sur l’Estimation.
6.1. Propriétés d’un estimateur.
6.2. Méthodes d’estimation.
6.3. Estimation par intervalle.
6.3.1. Intervalle de prédiction.
6.3.2. Intervalle exact.
6.3.3. Intervalle par pivot.
6.3.4. Intervalle asymptotique.
6.3.5. Intervalle par f.r..
6.4. Estimation de caractéristiques.
6.5. Estimation d’une f.r. .
6.6. Estimation d’une densité.
6.7. Estimation des paramètres de lois.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Nous présentons un cas où le calcul d’un intervalle de confiance est simplifié.
Définition 1. Une statistique \(T(X_{\bullet}\ ;\ \theta)\) est appelée pivotale ou ancillaire par rapport au paramètre \(\theta\) lorsque sa loi est indépendante de ce paramètre.
Propriété 1. Soit \(T(X_{\bullet}\ ;\ \theta)\) une statistique pivotale de loi \(P\) et \(I_{pred}(P\ ;\ \alpha)=\lbrack \underline{c}\ ;\ \overline{c}\rbrack\) un intervalle de prédiction de \(T\). Considérons \(\underline{\theta}(T(x_{\bullet}))\leq \theta\leq \overline{\theta}(T(x_{\bullet}))\) les solutions explicites ou numériques en \(\theta\) des inéquations \(\underline{c}\leq T(X_{\bullet}\ ;\ \theta) \leq \overline{c}\). Alors nous avons l’intervalle de confiance :
\[ I_{conf}(\theta\ ;\ \alpha\ ;\ x_{\bullet})=\Big\lbrack \underline{\theta}(T(x_{\bullet}))\ ;\ \overline{\theta}(T(x_{\bullet}))\Big\rbrack. \]Exemple 1. Soit \(X_{\bullet}\) un \(n-\)échantillon d’une v.a. \(X\) de loi Normale \({\cal L}(X)={\cal N}(\mu\ ;\ \sigma^2)\), dont les paramètres sont inconnus. Nous savons par ailleurs que :
\[ {\cal L}(\frac{(n-1)S^2_c(X_{\bullet})}{\sigma^2})=\chi^2_{n-1}, \]loi du Khi-deux à \(n-1\) degrés de liberté. Ainsi nous avons la statistique pivotale :
\[ \frac{(n-1)S^2_c(X_{\bullet})}{\sigma^2}=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-{\overline X})^2. \]Comme :
\[ {\underline c}\leq \frac{(n-1)S^2_c(X_{\bullet})}{\sigma^2}\leq {\overline c}\Longleftrightarrow \frac{(n-1)S^2_c(X_{\bullet})}{\overline c}\leq \sigma^2\leq \frac{(n-1)S^2_c(X_{\bullet})}{\underline c}, \]Nous avons l’intervalle de confiance de \(\sigma^2\) :
\[ I_{conf}(\sigma^2\ ;\ \alpha\ ;\ x_{\bullet})=\Big\lbrack \frac{(n-1)S^2_c(x_{\bullet})}{\overline{c}}\ ;\ \frac{(n-1)S^2_c(x_{\bullet})}{\underline{c}}\Big\rbrack, \]avec \(I_{pred}(\chi^2_{n-1}\ ;\ \alpha)=\lbrack \underline{c}\ ;\ \overline{c}\rbrack\) un intervalle de prédiction de la loi \(\chi^2_{n-1}\). Remarquons qu’en prenant la racine carrée des bornes de cet intervalle, nous obtenons un intervalle de confiance de \(\sigma. \quad\square\)
Haut de la page.