6.0. Généralités sur l’Estimation.
6.1. Propriétés d’un estimateur.
6.1.1. Estimateur convergent.
6.1.2. Estimateur sans biais.
6.1.3. Estimateur a.N..
6.1.4. Estimateur exhaustif. \(\ast\)
6.1.5. Information de Fisher. \(\ast\)
6.1.5.a. Définition - Propriétés. \(\ast\)
6.1.5.b. Lois discrètes \(\ast\).
6.1.5.c. Lois \({\cal N}_1\) et \(Log-{\cal N}\). \(\ast\)
6.1.5.d. Lois \({\cal N}_2\). \(\ast\)
6.1.5.e. Lois \({\cal N}_p\). \(\ast\)
6.1.5.f. Autres lois continues - I. \(\ast\)
6.1.5.g. Autres lois continues - II. \(\ast\)
6.1.6. Estimateur efficace. \(\ast\)
6.1.7. Estimateur complet. \(\ast\)
6.1.8. Amélioration de l’efficacité. \(\ast\)
6.2. Méthodes d’estimation.
6.3. Estimation par intervalle.
6.4. Estimation de caractéristiques.
6.5. Estimation d’une f.r..
6.6. Estimation d’une densité.
6.7. Estimation des paramètres de lois.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Nous donnons les quantités d’information de Fisher pour les lois de Pareto, de Cauchy et uniformes continues.
Lois de Pareto. Soit \(X\) une v.a. de loi de Pareto \({\cal PA}(\alpha\ ;\ x_0)\). Nous avons comme paramètres \(\theta=\sideset{^t}{}{(\alpha,\ x_0)}\in\Theta=({\mathbb R}_+^{\star})^2\) et la densité s’écrit
\[ f(x\ ;\ \alpha,\ x_0)=\frac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}I_{\rbrack x_0\ ;\ +\infty\lbrack}(x), \quad x\in {\mathbb R}. \]Le support est \(S_{\theta}=\rbrack x_0\ ;\ +\infty\lbrack=S_{x_0}\) ; il dépend du paramètre \(x_0\). Nous constatons que les conditions (CR 0), (CR 1), (CR 2), (CR 3) et (CR 4) sont satisfaites pour \(\alpha\), mais la condition (CR 0) ne l’est pas pour \(x_0\). Pour \(x_0< x\), nous avons :
\[ \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ x_0))=\ln(\alpha)+\alpha\ln(x_0) - (\alpha+1)\ln(x). \]Nous dérivons :
\[ \frac{\partial \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ x_0))}{\partial \alpha}=\frac{1}{\alpha}+\ln(x_0)-\ln(x), \quad \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ x_0))}{\partial \alpha^2}=-\frac{1}{\alpha^2}, \]et
\[ \left(\frac{\partial \log(f(x\ ;\ \alpha,\ x_0))}{\partial x_0}\right)_{x≠ x_0}= \frac{\alpha}{x_0}. \]Remarquons que la condition (CR 0) n’étant pas satisfaite pour \(x_0\), nous utilisons la définition de l’information. Après avoir calculé \({\mathbb E}\lbrack\ln(X)\rbrack,\) nous obtenons :
| \[\quad I_X(\alpha,\ x_0)=\pmatrix{ \displaystyle\frac{1}{\alpha^2} & 0\cr 0 & \dfrac{\alpha^2}{x_0^2} \cr}.\quad\] |
Les paramètres sont orthogonaux. \(\quad\square\)
Lois de Cauchy. Soit \(X\) une v.a. de loi de Cauchy \({\cal CA}(x_0\ ;\ \alpha)\). Nous avons comme paramètres \(\theta=\sideset{^t}{}{(x_0,\ \alpha)}\in\Theta={\mathbb R}\times {\mathbb R}_+^{\star}\) et la densité s’écrit
\[ f(x\ ;\ x_0,\ \alpha)=\frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{\alpha^2 +(x-x_0)^2},\quad x\in {\mathbb R}. \]Le support est \(S_{\theta}={\mathbb R}=S\) ; il ne dépend pas des paramètres. Nous constatons que les conditions (CR 0), (CR 1), (CR 2), (CR 3) et (CR 4) sont satisfaites et que :
\[ \ln(f(x\ ;\ x_0,\ \alpha)=-\ln(\pi)+\ln(\alpha)-\ln(\alpha^2+(x-x_0)^2). \]Nous dérivons :
\[ \frac{\partial \ln(f(x\ ;\ x_0,\ \alpha))}{\partial x_0}=\frac{2(x-x_0)}{\alpha^2+(x-x_0)^2}, \quad \frac{\partial \ln(f(x\ ;\ x_0,\ \alpha))}{\partial \alpha}=\frac{1}{\alpha}-\frac{2\alpha}{\alpha^2+(x-x_0)^2}, \] \[ \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ x_0,\ \alpha))}{\partial \alpha^2}= - \frac{1}{\alpha^2}-\frac{2}{\alpha^2+(x-x_0)^2}+\frac{4\alpha^2}{(\alpha^2+(x-x_0)^2)^2}. \]et
\[ \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ x_0,\ \alpha))}{\partial x_0^2}= - \frac{2}{\alpha^2+(x-x_0)^2}+\frac{4(x-x_0)^2}{(\alpha^2+(x-x_0)^2)^2}, \]et
\[ \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ x_0,\ \alpha))}{\partial\alpha\partial x_0}=-\frac{4\alpha(x-x_0)}{(\alpha^2+(x-x_0)^2)^2}. \]Le calcul des moyennes théoriques, par intégration de fractions de polynômes, nous donne :
| \[\quad I_X(x_0,\ \alpha)=\pmatrix{ \displaystyle\frac{1}{2\alpha^2} & 0\cr 0 & \dfrac{1}{2\alpha^2} \cr}=\frac{1}{2\alpha^2}{\mathbb I}_{2\times 2}.\quad\] |
Les paramètres sont orthogonaux. \(\quad\square\)
Lois Uniformes continues. Soit \(X\) une v.a. de loi Uniforme \({\cal U}(\rbrack \theta_1\ ;\ \theta_2\lbrack)\). Nous avons comme paramètres \(\theta=\sideset{^t}{}{(\theta_1,\ \theta_2)}\in\Theta={\mathbb R}^2,\ \theta_1\not=\theta_2\) et la densité s’écrit
\[ f(x\ ;\ \theta_1,\ \theta_2)=\frac{1}{\theta_2-\theta_1}I_{\rbrack \theta_1\ ;\ \theta_2\lbrack}(x),\quad x\in {\mathbb R}. \]Le support est \(S_{\theta}=\rbrack \theta_1\ ;\ \theta_2\lbrack\) ; il dépend des paramètres. Nous constatons que la condition (CR 0) n’est pas satisfaite et que :
\[ \ln(f(x\ ;\ \theta_1,\ \theta_2))=-\ln(\theta_2-\theta_1). \]Nous obtenons aisément :
| \[\quad I_X(\theta_1,\ \theta_2)= \displaystyle\frac{1}{(\theta_2-\theta_1)^2}\pmatrix{ 1& -1\cr -1 & 1 \cr}.\quad\] |
Si \(X_{\bullet}\) est un \(n-\)échantillon, un calcul strictement analogue au précédent nous donne :
\[ I_{X_{\bullet}}(\theta_1,\ \theta_2)=n^2I_X(\theta_1,\ \theta_2)\not=nI_X(\theta_1,\ \theta_2). \]Nous retrouvons ici le fait que, la condition (CR 0) n’étant pas satisfaite, nous n’avons pas la propriété d’additivité de l’information de Fisher. \(\quad\square\)
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