6.0. Généralités sur l’Estimation.
6.1. Propriétés d’un estimateur.
6.1.1. Estimateur convergent.
6.1.2. Estimateur sans biais.
6.1.3. Estimateur a.N..
6.1.4. Estimateur exhaustif. \(\ast\)
6.1.5. Information de Fisher. \(\ast\)
6.1.5.a. Définition - Propriétés. \(\ast\)
6.1.5.b. Lois discrètes \(\ast\).
6.1.5.c. Lois \({\cal N}_1\) et \(Log-{\cal N}\). \(\ast\)
6.1.5.d. Lois \({\cal N}_2\). \(\ast\)
6.1.5.e. Lois \({\cal N}_p\). \(\ast\)
6.1.5.f. Autres lois continues - I. \(\ast\)
6.1.5.g. Autres lois continues - II. \(\ast\)
6.1.6. Estimateur efficace. \(\ast\)
6.1.7. Estimateur complet. \(\ast\)
6.1.8. Amélioration de l’efficacité. \(\ast\)
6.2. Méthodes d’estimation.
6.3. Estimation par intervalle.
6.4. Estimation de caractéristiques.
6.5. Estimation d’une f.r..
6.6. Estimation d’une densité.
6.7. Estimation des paramètres de lois.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Nous avons les résultats suivants.
Lois Normales de dimension 1. Soit \(X\) une v.a. de loi Normale \({\cal N}(\mu\ ;\ \sigma^2)\). Nous avons les paramètres \(\theta=\sideset{^t}{}{(\mu,\ \sigma^2)}\in\Theta={\mathbb R}\times{\mathbb R}_+^{\star}\) et la densité s’écrit
\[ f(x\ ;\ \mu,\ \sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2},\quad x\in{\mathbb R}. \]Le support est \(S_{\theta}={\mathbb R}=S\) ; il ne dépend pas des paramètres. Nous constatons que les conditions (CR 0), (CR 1), (CR 2), (CR 3) et (CR 4) sont satisfaites. Avec les notations du cas multivarié nous avons :
\[ \Sigma=\sigma^2, \quad \Sigma^{-1}=\frac{1}{\sigma^2}=\tau_{11}. \]Les résultats généraux nous donnent alors :
| \[ \quad I_X(\mu,\ \sigma^2)=\pmatrix{ \displaystyle\frac{1}{\sigma^2} & 0 \cr 0 & \displaystyle\frac{1}{2\sigma^4} \cr}.\quad \] |
Ce résultat s’obtient directement. Le logarithme de la densité est :
\[ \ln(f(x\ ;\ \mu,\ \sigma^2))=-\frac{1}{2}\ln(2\pi)-\frac{1}{2}\ln(\sigma^2) - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}. \]Nous calculons :
\[ \frac{\partial \ln(f(x\ ;\ \mu,\ \sigma^2))}{\partial \mu}=\frac{x-\mu}{\sigma^2},\quad \frac{\partial \ln(f(x\ ;\ \mu,\ \sigma^2))}{\partial (\sigma^2)}= -\frac{1}{2\sigma^2} + \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^4}, \] \[ \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ \mu,\ \sigma^2))}{\partial \mu^2}=-\frac{1}{\sigma^2},\quad \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ \mu,\ \sigma^2))}{\partial (\sigma^2)^2}= +\frac{1}{2\sigma^4} - \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^6}, \] \[ \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ \mu,\ \sigma^2))}{\partial\mu \partial (\sigma^2)}= - \frac{x-\mu}{\sigma^4}. \]Comme \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\mu\) et \({\mathbb E}\lbrack (X-\mu)^2\rbrack=\sigma^2\lbrack X\rbrack=\sigma^2\) nous en déduisons la matrice d’information précédente. Nous constatons qu’elle est diagonale ; les paramètres \(\mu\) et \(\sigma^2\) sont orthogonaux. \(\quad\square\)
Lois Log-Normales. Soit \(X\) une v.a. de loi Log-Normale \(Log-{\cal N}(x_0\ ;\ \mu\ ;\ \sigma^2)\). Nous avons les paramètres \(\theta=\sideset{^t}{}{(x_0,\ \mu,\ \sigma^2)}\in\Theta={\mathbb R}^2\times{\mathbb R}_+^{\star}\) et la densité s’écrit
\[ f(x) =\frac{1}{(x-x_0)\sigma \sqrt{2\pi}}\exp\left(\displaystyle - \frac{1}{2\sigma^2} (\ln(x-x_0)-\mu)^2\right)I_{\rbrack x_0\ ;\ +\infty\lbrack}(x),\quad x\in {\mathbb R}. \]Le support est \(S_{\theta}=\rbrack x_0\ ;\ +\infty\lbrack=S_{x_0}\) ; il dépend du paramètre \(x_0\). Nous constatons que les conditions (CR 0), (CR 1), (CR 2), (CR 3) et (CR 4) sont satisfaites pour \(\mu\) et \(\sigma^2\) mais la condition (CR 0) ne l’est pas pour \(x_0\). Nous calculons :
\[ \left(\frac{\partial \ln(f)}{\partial x_0}\right)_{x ≠ x_0}^2, \quad \frac{\partial^2 \ln(f)}{\partial \mu^2},\quad \frac{\partial^2 \ln(f)}{\partial (\sigma^2)^2}, \] \[ \left(\frac{\partial \ln(f)}{\partial x_0}\frac{\partial \ln(f)}{\partial \mu}\right)_{x ≠ x_0}, \quad \left(\frac{\partial \ln(f)}{\partial x_0}\frac{\partial \ln(f)}{\partial (\sigma^2)}\right)_{x ≠ x_0}, \quad \frac{\partial^2 \ln(f)}{\partial \mu \partial (\sigma^2)}. \]Nous calculons les moyennes théoriques en \(X\) de ces quantités en effectuant des changements de variable dans les intégrales qui nous ramènent à un calcul de moments de lois normales. Nous en déduisons :
| \[ \quad I_X(x_0,\ \mu,\ \sigma^2)=\pmatrix{ \displaystyle(1+\frac{1}{\sigma^2})e^{2(\sigma^2-\mu)} & (1+\displaystyle\frac{2}{\sigma^2})e^{(\frac{\sigma^2}{2}-\mu)} & -2(1+\displaystyle\frac{1}{\sigma^2})e^{2(\sigma^2-\mu)}\cr & & \cr (1+\displaystyle\frac{2}{\sigma^2})e^{(\frac{\sigma^2}{2}-\mu)} & \displaystyle\frac{1}{\sigma^2} & 0\cr & & \cr -2(1+\displaystyle\frac{1}{\sigma^2})e^{2(\sigma^2-\mu)} & 0 & \displaystyle\frac{1}{2\sigma^4} \cr}.\quad \] |
Nous constatons que les paramètres \(\mu\) et \(\sigma^2\) sont orthogonaux entre eux, mais il ne le sont pas avec \(x_0\). \(\quad\square\)