6.0. Généralités sur l’Estimation.
6.1. Propriétés d’un estimateur.
6.1.1. Estimateur convergent.
6.1.2. Estimateur sans biais.
6.1.3. Estimateur a.N..
6.1.4. Estimateur exhaustif. \(\ast\)
6.1.5. Information de Fisher. \(\ast\)
6.1.5.a. Définition - Propriétés. \(\ast\)
6.1.5.b. Lois discrètes \(\ast\).
6.1.5.c. Lois \({\cal N}_1\) et \(Log-{\cal N}\). \(\ast\)
6.1.5.d. Lois \({\cal N}_2\). \(\ast\)
6.1.5.e. Lois \({\cal N}_p\). \(\ast\)
6.1.5.f. Autres lois continues - I. \(\ast\)
6.1.5.g. Autres lois continues - II. \(\ast\)
6.1.6. Estimateur efficace. \(\ast\)
6.1.7. Estimateur complet. \(\ast\)
6.1.8. Amélioration de l’efficacité. \(\ast\)
6.2. Méthodes d’estimation.
6.3. Estimation par intervalle.
6.4. Estimation de caractéristiques.
6.5. Estimation d’une f.r..
6.6. Estimation d’une densité.
6.7. Estimation des paramètres de lois.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Nous donnons les quantités d’information de Fisher pour les lois Gamma, Bêta et de Weibull.
Lois Gamma. Soit \(X\) une v.a. de loi Gamma \({\cal GA}(\alpha\ ;\ \beta)\). Nous avons comme paramètres \(\theta=\sideset{^t}{}{(\alpha,\ \beta)}\in\Theta=({\mathbb R}_+^{\star})^2\) et la densité s’écrit
\[ f(x\ ;\ \alpha,\ \beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} I_{\rbrack 0\ ;\ +\infty\lbrack}(x),\quad x\in {\mathbb R}. \]Le support est \(S_{\theta}={\mathbb R}_+^{\star}=S\) ; il ne dépend pas des paramètres. Nous constatons que les conditions (CR 0), (CR 1), (CR 2), (CR 3) et (CR 4) sont satisfaites et que, pour \(x > 0\) :
\[ \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))=\alpha\ln(\beta)-\ln(\Gamma(\alpha)) + (\alpha-1)\ln(x) -\beta x. \]Nous dérivons :
\[ \frac{\partial \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial \alpha}=\ln(\beta)-\frac{\partial \ln(\Gamma(\alpha))}{\partial \alpha}+\ln(x), \quad \frac{\partial \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial (\beta)}=\frac{\alpha}{\beta}-x, \] \[ \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial \alpha^2}=-\frac{\partial^2 \ln(\Gamma(\alpha))}{\partial \alpha^2},\quad \frac{\partial^2 \log(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial (\beta)^2}= - \frac{\alpha}{\beta^2}, \]et
\[ \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial\alpha \partial \beta}= \frac{1}{\beta}. \]Comme nous obtenons des constantes par rapport à \(x\), nous en déduisons facilement :
| \[\quad I_X(\alpha,\ \beta)=\pmatrix{ \displaystyle\frac{\partial^2 \ln(\Gamma(\alpha))}{\partial \alpha^2} & -\displaystyle\frac{1}{\beta}\cr -\displaystyle\frac{1}{\beta} & \displaystyle\frac{\alpha}{\beta^2} \cr}.\quad\] |
Dans R il est possible de calculer des valeurs numériques pour les fonctions spéciales \(\ln(\Gamma(\alpha))\) avec la commande lgamma, \(\psi(\alpha)=\dfrac{\partial \ln(\Gamma(\alpha))}{\partial \alpha}=\dfrac{\Gamma^{\prime}(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\) avec la commande digamma, \(\psi^{\prime}(x)=\dfrac{\partial^2 \ln(\Gamma(\alpha))}{\partial \alpha^2}=\dfrac{\Gamma^{\prime\prime}(\alpha)\Gamma(\alpha)-(\Gamma^{\prime}(\alpha))^2}{\Gamma^2(\alpha)}\) avec la commande trigamma ; ces deux dernières fonctions peuvent être calculées également avec la commande psigamma.\(\quad\square\)
Lois Bêta. Soit \(X\) une v.a. de loi Bêta \({\cal BE}(\alpha\ ;\ \beta)\). Nous avons comme paramètres \(\theta=\sideset{^t}{}{(\alpha,\ \beta)}\in\Theta=({\mathbb R}_+^{\star})^2\) et la densité s’écrit
\[ f(x\ ;\ \alpha,\ \beta)=\frac{1}{B(\alpha\ ;\ \beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}I_{\rbrack 0\ ;\ 1\lbrack}(x), \quad x\in {\mathbb R}. \]Le support est \(S_{\theta}=\rbrack 0\ ;\ 1\lbrack=S\) ; il ne dépend pas des paramètres. Nous constatons que les conditions (CR 0), (CR 1), (CR 2), (CR 3) et (CR 4) sont satisfaites et que, pour \(x \in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\):
\[ \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))=-\ln(B(\alpha\ ;\ \beta)) + (\alpha-1)\ln(x) -\beta \ln(1-x). \]Nous dérivons :
\[ \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial \alpha^2}=-\frac{\partial^2 \ln(B(\alpha\ ;\ \beta))}{\partial \alpha^2},\quad \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial \beta^2}= -\frac{\partial^2 \ln(B(\alpha\ ;\ \beta))}{\partial \beta^2} \]et
\[ \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial\alpha \partial \beta}= - \frac{\partial^2 \ln(B(\alpha\ ;\ \beta))}{\partial \alpha \partial \beta}. \]Comme nous obtenons des constantes en \(x\), nous en déduisons facilement :
| \[\quad I_X(\alpha,\ \beta)=\pmatrix{ \displaystyle\frac{\partial^2 \ln(B(\alpha\ ;\ \beta))}{\partial \alpha^2} & \dfrac{\partial^2 \ln(B(\alpha\ ;\ \beta))}{\partial \alpha \partial \beta}\cr \dfrac{\partial^2 \ln(B(\alpha\ ;\ \beta))}{\partial \alpha \partial \beta} & \dfrac{\partial^2 \ln(B(\alpha\ ;\ \beta))}{\partial \beta^2}\cr}.\quad\] |
Les dérivées de la fonction \(B(\alpha\ ;\ \beta)\) peuvent s’exprimer en fonction de \(\Gamma\) et \(\psi\), définie ci-dessus. De manière précise nous déduisons :
\[ \frac{\partial^2 \ln(B(\alpha\ ;\ \beta))}{\partial \alpha^2}=\psi^{\prime}(\alpha)-\psi^{\prime}(\alpha+\beta),\quad \frac{\partial^2 \ln(B(\alpha\ ;\ \beta))}{\partial \alpha \partial \beta}=\psi^{\prime}(\alpha+\beta). \]Nous pouvons ainsi obtenir les valeurs numériques de \(I_X(\alpha,\ \beta)\) dans R avec les commandes indiquées ci-dessus. \(\quad\square\)
Lois de Weibull. Soit \(X\) une v.a. de loi de Weibull \({\cal W}(\alpha\ ;\ \beta)\). Nous avons comme paramètres \(\theta=\sideset{^t}{}{(\alpha,\ \beta)}\in\Theta=({\mathbb R}_+^{\star})^2\) et la densité s’écrit
\[ f(x\ ;\ \alpha,\ \beta)=\beta \alpha x^{\alpha-1}e^{-\beta x^{\alpha}} I_{\rbrack 0\ ;\ +\infty\lbrack}(x),\quad x\in {\mathbb R}. \]Le support est \(S_{\theta}={\mathbb R}_+^{\star}=S\) ; il ne dépend pas des paramètres. Nous constatons que les conditions (CR 0), (CR 1), (CR 2), (CR 3) et (CR 4) sont satisfaites et que, pour \(x > 0\) :
\[ \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))=\ln(\beta) + \ln(\alpha)+(\alpha-1)\ln(x) -\beta x^{\alpha}. \]Nous dérivons :
\[ \frac{\partial \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial \alpha}=\frac{1}{\alpha}+\ln(x)-\beta x^{\alpha} \ln(x), \quad \frac{\partial \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial \beta}=\frac{1}{\beta} - x^{\alpha}, \] \[ \frac{\partial^2 \ln(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial \alpha^2}=-\frac{1}{\alpha^2}-\beta x^{\alpha} (\ln(x))^2, \quad \frac{\partial^2 \log(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial \beta^2}= - \frac{1}{\beta^2}, \]et
\[ \frac{\partial^2 \log(f(x\ ;\ \alpha,\ \beta))}{\partial\alpha \partial \beta}=-x^{\alpha} \ln(x). \]Pour calculer les moyennes théoriques de ces expressions, nous nous ramenons aux intégrales définissant les dérivées de la fonction \(\Gamma(\alpha)\). Nous obtenons :
| \[\quad I_X(\alpha,\ \beta)=\pmatrix{ \displaystyle\frac{1}{\alpha^2}\Big(1+\Gamma^{\prime\prime}(2)-2\Gamma^{\prime}(2)\ln(\beta)+(\ln(\beta))^2\Big)& -\dfrac{1}{\alpha\beta}(\Gamma^{\prime}(2)-\ln(\beta))\cr -\dfrac{1}{\alpha\beta}(\Gamma^{\prime}(2)-\ln(\beta)) & \dfrac{1}{\beta^2} \cr}.\quad\] |
Dans R, à l’aide des commandes indiquées ci-dessus, nous obtenons \(\Gamma^{\prime}(2)=0,4227842\) et \(\Gamma^{\prime\prime}(2)=0,8236807.\quad\square\)
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