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5. Propriétés limites.

5.6. Loi des événements rares.

Une des applications de la convergence en loi est l’approximation d’une loi Binomiale par une loi de Poisson. Cette propriété est appellée loi des événements rares. De manière précise elle s’énonce ainsi.

Propriété 1. Considérons une suite \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) de v.a. suivant respectivement une loi Binomiale \({\cal B}(n\ ;\ p_n)\) et une v.a. \(X\) de loi de Poisson \({\cal P}(\lambda)\). Nous supposons que

\[ p_n=\frac{\lambda}{n}+o(\frac{1}{n}),\qquad {\rm avec}\qquad no(\frac{1}{n})\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow 0, \]

ou, ce qui est équivalent, \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} np_n=\lambda\). Nous avons alors :

\[ X_n\overset{{\cal L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}X, \]

que nous pouvons encore écrire sous la forme \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\cal B}(n\ ;\ p_n)={\cal P}(\lambda).\)

Interprétation. Si des événements indépendants ont une très faible probabilité de réalisation, alors la somme de leurs indicatrices, lors d’expériences répétées, est distribuée selon une loi de Poisson.

Remarque 1. Pour voir le résultat, il suffit de constater (nous sommes en présence de variables discrètes) que :

\[ P(X_n=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p_n^k(1-p_n)^{n-k} \approx \frac{n!}{(n-k)!n^k}\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^{(n-k)}\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}. \]

Remarque. En pratique nous pouvons utiliser l’approximation dès que \(n \geq 50\) et que \(np < 10\) ou \(n(1-p) < 10\), c’est-à-dire que \(p\) ou \(1-p\) doit être assez petit. A titre d’illustration, voici le calcul dans R de \(P(X=3)\) pour \(n=60\) et \(p=0,1\) :

dbinom(3,60,.1) ; réponse : 0.08435349.

dpois(3,6) ; réponse : 0.08923508 .

Voici un exemple de calcul dans le cas \(n(1-p) < 10\). Comme \({\cal L}(X)={\cal B}(n\ ;\ p)\) implique que \({\cal L}(n-X)={\cal B}(n\ ;\ 1-p)\), avec \(n=70\) et \(p=0,95\), pour calculer \(P(X=62)=P(70-X=8)\), nous utilisons les commandes :

dbinom(8,70,.05) ; réponse : 0.01533246.

dpois(8,3.5) ; réponse : 0.01686526 .

Si \(n \geq 50\) mais les conditions sur \(np\) et \(n(1-p)\) ne sont pas satisfaites, alors nous pouvons utiliser l’approximation par la loi Normale. \(\quad\square\)

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