5. Propriétés limites.

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5. Propriétés limites.

5.1. Convergence en probabilité. $\ast$
5.2. Loi faible des grands nombres.
5.3. Convergence presque sûre. $\ast$
5.4. Loi forte des grands nombres.
5.5. Convergence en loi. $\ast$
5.6. Loi des événements rares.
5.7. Théorème de la Limite Centrale.
5.8. Stabilisation de la variance.

Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.

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© Photis NOBELIS, 2009 à 2025.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.

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5.4. Loi forte des grands nombres.

Cette notion concerne également le comportement d’une somme de v.a.. Nous avons une convergence plus forte.

Définition 1. Une suite $\{X_n,n\in \mathbb{N}\}$ de v.a. centrées satisfait à la loi forte des grands nombres si

$$\bar{X}={\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{p.s.}{\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}}0.$$

Interprétation. Pour des réalisations de v.a. satisfaisant à la loi forte des grands nombres, nous avons une «légitimation» du calcul des moyennes observées.

Nous donnons deux critères permettant de vérifier qu’une suite de v.a. satisfait à cette loi.

Propriété 1. Soit une suite $\{X_n,n\in \mathbb{N}\}$ de v.a. indépendantes, centrées et ayant des variances finies : $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},{\sigma }^2[X_n]=\mathbb{E}[X_n^2]={\sigma }_n^2<+\mathrm{\infty }$. Si

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_n^2}{n^2}<+\mathrm{\infty },$$

alors la suite $\{X_n,n\in \mathbb{N}\}$ satisfait à la loi forte des grands nombres.

Le second critère concerne des variables de même loi et il est dû à Kolmogorov, le fondateur de la théorie axiomatique des probabilités.

Propriété 2. Soit une suite de v.a. $\{X_n,n\in \mathbb{N}\}$ i.i.d. ayant des moyennes théoriques finies : $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathbb{E}[X_n]=\mu <+\mathrm{\infty }$. Alors la suite $\{X_n,n\in \mathbb{N}\}$ satisfait à la loi forte des grands nombres et

$$\bar{X}={\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{p.s.}{\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}}\mu .$$

C’est-à-dire que la moyenne observée converge presque sûrement vers la moyenne théorique.

Exemple 1. Considérons le jet d’une pièce équilibrée. Si nous réalisons une «infinité» de jets, nous sommes en présence d’une suite $\{X_n,n\in \mathbb{N}\}$ de v.a. indépendantes de même loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1;0,5)$. Nous avons

$$\mathbb{E}[X_n]=0,5.$$

La deuxième propriété nous permet alors d’affirmer que la suite satisfait à la loi forte des grands nombres, c’est-à-dire :

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{p.s.}{\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}}0,5.$$

Donc toute suite (infinie) de réalisations donnera toujours un proportion de «pile» égale à $0,5$. $◻$

Remarque 1. Généralement la loi forte des grands nombres est énoncée sous les deux aspects de la convergence des fréquences observées et celle des moyennes observées.

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