5.1. Convergence en probabilité. \(\ast\)
5.2. Loi faible des grands nombres.
5.3. Convergence presque sûre. \(\ast\)
5.4. Loi forte des grands nombres.
5.5. Convergence en loi. \(\ast\)
5.6. Loi des événements rares.
5.7. Théorème de la Limite Centrale.
5.8. Stabilisation de la variance.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Certaines procédures statistiques nécessitent que les fonctions statistiques utilisées aient la même variance sous différentes conditions. Ce n’est pas toujours le cas. Nous pouvons alors, sous certaines hypothèses, «stabiliser» la variance à l’aide du résultat suivant :
Propriété 1. Considérons une suite de v.a., indépendantes et de même loi pas nécessairement connue, \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) et une suite de nombres \(\lbrace c,\ a_n,\ n\in {\mathbb N},\ \sigma >0 \rbrace\), tels que :
\[ \lim_{n\rightarrow+\infty}{\cal L}(a_n(X_n-c))={\cal N}(0\ ;\ \sigma^2). \]Alors, pour toute fonction \(h\) dérivable, nous avons :
\[ \lim_{n\rightarrow+\infty}{\cal L}\Big(a_n(h(X_n)-h(c))\Big)={\cal N}(0\ ;\ \sigma^2h^{\prime}(c)^2). \]Remarque. Ainsi un choix judicieux de \(h\) nous donnera pour la loi Normale limite une variance qui ne dépendra plus d’un paramètre.
Exemple 1. Propriété de l’arcsinus du paramètre d’une loi Binomiale. Considérons une variable \(X_n\) de loi \({\cal B}(n\ ;\ p)\). Nous avons vu comme Exemple 1 du T.C.L. que :
\[ \lim_{n\rightarrow+\infty}{\cal L}\Bigg(\sqrt{n}\bigg(\frac{X_n}{n}-p\bigg)\Bigg)={\cal N}(0\ ;\ p(1-p)). \]Posons \(h(t)=\arcsin(\sqrt{t})\). Cette fonction est dérivable et \(h^{\prime}(t)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{t(1-t)}}\). Nous en déduisons :
\[ \lim_{n\rightarrow+\infty}{\cal L}\Bigg(\sqrt{n}\bigg(\arcsin\left(\sqrt{\frac{X_n}{n}}\right)-\arcsin(\sqrt{p})\bigg)\Bigg)={\cal N}(0\ ;\ \frac{1}{4}).\ \]Ainsi la variance de la loi Normale limite ne dépend plus du paramètre inconnu \(p\). \(\quad\square\)
Exemple 2. Propriété de la racine carrée du paramètre d’une loi de Poisson. Soit \(\lbrace X_n,\ n\in {\mathbb N}\rbrace\) une suite de v.a., indépendantes, de même loi \({\cal P}(\lambda)\). Comme la somme de variables indépendantes suivant des lois de Poisson est distribuée aussi selon une loi de Poisson dont le paramètre est la somme des paramètres, le T.C.L. nous donne :
\[ \lim_{n\rightarrow+\infty}{\cal L}\Bigg(\sqrt{n}\bigg(\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n}-\lambda\bigg)\Bigg)={\cal N}(0\ ;\ \lambda). \]Posons \(h(t)=\sqrt{t}\). Cette fonction est dérivable et \(h^{\prime}(t)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{t}}\). Nous en déduisons :
\[ \lim_{n\rightarrow+\infty}{\cal L}\Bigg(\sqrt{n}\bigg(\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n}}-\sqrt{\lambda}\bigg)\Bigg)={\cal N}(0\ ;\ \frac{1}{4}).\ \]Ainsi la variance de la loi Normale limite ne dépend plus du paramètre inconnu \(\lambda. \quad\square\)
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