Convergence en probabilité.

5.1. Convergence en probabilité. $*$

Nous présentons la première notion de convergence stochastique. Considérons une suite de v.a. ${X_{n}, n \in N}$ , pas nécessairement indépendantes, ni identiquement distribuées, ainsi qu’une v.a. $X$ .

Définition 1. Nous disons que la suite ${X_{n}, n \in N}$ converge en probabilité vers $X$ si

\forall ε > 0, lim_{n \to + \infty} P (∣ X_{n} - X ∣> ε) = 0.

Ceci est noté : $X_{n} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} X$ .

Interprétation. Cette notion de convergence peut se comprendre de la manière suivante. Pour tout écart $ε$ fixé, lorsque $n$ devient très grand, il est de moins en moins probable d’observer un écart, supérieur à l’écart donné, entre $X_{n}$ et $X$ .

Exemple 1. Soit $c > 0$ un nombre fixé. Nous considérons la v.a. $X = 0$ et la suite de v.a. ${X_{n}, n \in N}$ ne prenant que deux valeurs, définies par :

\forall n \in N, P (X_{n} = n^{c}) = \frac{1}{n} e t P (X_{n} = 0) = 1 - \frac{1}{n} .

Il est facile alors de constater que, pour tout $ε > 0$ fixé et pour tout $n \geq 1$ , nous avons :

P (∣ X_{n} - X ∣> ε) = P (∣ X_{n} ∣> ε) = P (X_{n} = n^{c}) = \frac{1}{n} \underset{n \to + \infty}{⟶} 0.

Ainsi nous en déduisons $X_{n} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} 0. ◻$

Remarque 1. La convergence en probabilité ne donne aucune information sur la convergence des moments. A titre de contre-exemple, nous avons dans l’exemple ci-dessus :

E [X_{n}] = n^{c - 1} e t E [X] = 0.

Nous pouvons alors avoir des situations très différentes :

\begin{array}{lcccl} c = 0, 5 & ⟹ & E [X_{n}] & = & \frac{1}{\sqrt{n}} \underset{n \to + \infty}{⟶} 0; \\ c = 1 & ⟹ & E [X_{n}] & \equiv & 1; \\ c = 2 & ⟹ & E [X_{n}] & = & n \underset{n \to + \infty}{⟶} + \infty . \end{array}

Cependant l’existence d’un moment de $∣ X_{n} - X ∣$ convergeant vers $0$ nous donne une condition suffisante (mais pas nécessaire) pour la convergence en probabilité. De manière précise nous avons le résultat suivant :

Propriété 1. Nous donnons un critère pour la convergence en probabilité. Soit une suite de v.a. ${X_{n}, n \in N}$ et une v.a. $X$ . Si pour un nombre $a > 0$ , nous avons $E [∣ X_{n} - X ∣^{a}] < + \infty$ , alors :

E [∣ X_{n} - X ∣^{a}] \underset{n \to + \infty}{⟶} 0 ⟹ X_{n} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} X .

En particulier

σ^{2} [X_{n}] \underset{n \to + \infty}{⟶} 0 ⟹ X_{n} - E [X_{n}] \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} 0.

Propriété 2. Soit une suite de v.a. ${X_{n}, n \in N}$ et une v.a. $X$ . Pour toute fonction continue $h$ , nous avons :

X_{n} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} X ⟹ h (X_{n}) \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} h (X) .

En particulier, si $X_{n} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} X$ , alors

\forall a \in R, a X_{n} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} a X e t P (X = 0) = 0 ⟹ \frac{1}{X_{n}} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} \frac{1}{X} .

Propriété 3. Soit deux suites de v.a. ${X_{n}, n \in N}$ et ${Y_{n}, n \in N}$ et deux v.a. $X, Y$ . Pour toute fonction numérique continue $h$ de $R^{2}$ , nous avons :

X_{n} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} X e t Y_{n} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} Y ⟹ h (X_{n}, Y_{n}) \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} h (X, Y) .

En particulier, sous les mêmes conditions,

X_{n} + Y_{n} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} X + Y, X_{n} Y_{n} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} X Y e t P (Y = 0) = 0 ⟹ \frac{X_{n}}{Y_{n}} \overset{P}{\underset{n \to + \infty}{⟶}} \frac{X}{Y} .

Références. Des détails et une étude plus approfondie sont donnés, par exemple, dans l’ouvrage de W. Feller et l’ouvrage de C. Fourgeaud et A. Fuchs.

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5. Propriétés limites.

5. Propriétés limites.

5.1. Convergence en probabilité. $*$

5. Propriétés limites.

5. Propriétés limites.

5.1. Convergence en probabilité. ∗

5.1. Convergence en probabilité. $*$