4.1.1. Lois de Bernoulli.
Nous considérons les v.a. discrètes les plus élémentaires. L’étude de celles-ci et de leurs propriétés limites sont
dues à Bernoulli.
Définition 1. Nous disons que la v.a. discrète est une
indicatrice ou suit une
loi de Bernoulli de paramètre si elle ne prend que
les deux valeurs et avec :
Ceci est noté . Le paramètre est appelé en général
proportion.
Modélisation. Cette loi est adaptée à l’étude des proportions. Nous proposons trois modélisations, tout à fait analogues, mais qui posent
clairement les situtions où ces lois peuvent apparaître.
1) Considérons une urne contenant des boules qui diffèrent uniquement par la couleur : une proportion de boules sont blanches et une proportion sont noires. Nous tirons
«au hasard» une boule dans cette urne. Nous codons l’obtention d’une boule blanche et nous disons que nous avons un «succès» ; l’obtention d’une boule
noire est codée par et nous avons alors un «échec». Cette expérience correspond à la réalisation d’une v.a. de loi
.
2) Soit un ensemble dans lequel une proportion d’unités possèdent une caractéristique , par exemple personnes atteintes d’une maladie dans une
population donnée, pièces défectueuses dans une fabrication, etc, alors le tirage d’une unité «au hasard» dans cette population correspond à la réalisation
d’une v.a. de loi ; pour cela il suffit de coder respectivement la présence et l’absence de par et . Nous
disons également que est l’indicatrice de la présence de la caractéristique . Si , cela veut dire que toutes les unités possèdent la caractéristique
. Si par contre , cela veut dire qu’aucune unité ne possède la caractéristique .
3) Soit un événement dans un espace de probabilité . Nous considérons la
v.a. , définie par si et sinon. La v.a. est de loi
; c’est l’indicatrice de l’événement .
L'importance du codage «» et «» apparaîtra dans le cadre des lois Binomiales. Nous insistons sur le fait que l’expression «au hasard» signifie dans ce
contexte que le tirage est tel que chaque unité possède les mêmes chances d’être tirée.
Nous donnons les propriétés essentielles de ce type de variables.
Propriété 1. Si , nous avons les résultats suivants :
Remarquons que la plus grande variance correspond à ; c’est la valeur pour laquelle nous avons la plus grande incertitude sur le fait de savoir si une unité possède ou pas la
caractéristique .
Propriété 2. La fonction de répartition est :
La fonction caractéristique et la fonction génératrice des moments sont respectivement :
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