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4. Lois théoriques usuelles.

4.1.5. Lois Multinomiales.

Nous généralisons les lois Binomiales au cas multivarié.

Propriété 1. Considérons n v.a. Y1,,Yn, indépendants et de même loi B(1 ; p1,,pr), avec pj[0, 1], j=1,,r, et j=1rpj=1. Alors la loi du v.a. X=i=1nYi est donnée par :

P(X=(tk1,,kr))=n!k1!kr!p1k1prkr=Cnk1,,krp1k1prkr,

pour kj=0, 1,,n, j=1,,r, avec j=1rkj=n.

Définition 1. La loi d’un v.a. X satisfaisant à la propriété précédente est appelée loi Multinomiale de paramètres nN, pj[0, 1], j=1,,r et j=1rpj=1. Nous notons L(X)=M(n ; p1,,pr).

Modélisation. Cette loi est adaptée à l’étude simultanée de plusieurs proportions. En effet, considérons un ensemble partitionné en r sous-ensembles. Cette partition des unités peut être induite, par exemple, par r caractéristiques C1,,Cr, exclusives les unes des autres. La proportion des unités qui possèdent la caractéristique Cj est pj. Nous avons bien entendu pj[0, 1], j=1,,r et j=1rpj=1. Nous tirons au hasard n unités avec remise. Le tirage ainsi défini nous permet la réalisation des v.a. Y1,,YIn, indépendants et de même loi B(1 ; p1,,pr). Le codage 0 et 1 pour chaque composante des Yi implique que les composantes du v.a. X correspondent au nombre d’unités extraites possédant chacune des caractéristiques Cj, j=1,,r.

Remarque. Le coefficient Cnk1,,kr=()k1,,krn=n!k1!kr! est le nombre de manières différentes d’extraire k1 unités possédant C1,, kr unités possédant Cr, parmi n. Ces coefficients apparaissent dans la formule suivante, dite formule du multinôme.

(a1++ar)n=0k1,,krk1++kr=nCnk1,,kra1k1arkr.

En posant a1=p1,,ar=pr cette identité permet de montrer que la somme des probabilités vaut bien 1.

Calculs avec R. La commande s’exprime par «dmultinom». La première option est un vecteur qui indique les réalisations à calculer, la deuxième est le nombre de tirages et la troisième option de la commande est un vecteur qui donne les p1,,pr. Ainsi par exemple si L(X)=M(10 ; 0,7 ; 0,1 ; 0,2), alors P(X=(t5, 2, 3)) se détermine avec la commande

dmultinom(c(5,2,3),size=10,prob=c(0.7,0.1,0.2)) ; réponse : 0.03388291.

Il est possible de réaliser des simulations d’observations d’une loi Multinomiale avec la commande rmultinom et les paramètres souhaités.

Propriété 2. Si L(X)=M(n ; p1,,pr), alors pour tout j=1,,r, la loi marginale de Xj est une loi de Binomiale B(n ; pj). La loi marginale du couple (Xj1,Xj2) est une loi Multinomiale M(n ; pj1,pj2,1pj1pj2). La loi conditionnelle de Xj1 sachant que  Xj2=kj2 est une loi Binomiale B(nkj2 ; pj11pj2).

Propriété 3. Si L(X)=M(n ; p1,,pr), alors la moyenne théorique de ce vecteur est le vecteur défini par :

E[X]=(E[X1]E[Xr])=(np1npr).

Propriété 4. Si L(X)=M(n ; p1,,pr), alors la matrice des variances-covariances théoriques de ce vecteur est la matrice définie par :

Σ[X]=E[(XE[X]) (tXE[X])]= =(np1(1p1)np1p2np1prnp2p1np2(1p2)np2prnprp1npr(1pr))

Propriété 5. Si L(X)=M(n ; p1,,pr), alors sa fonction caractéristique cX(s1,,sr) et sa fonction génératrice des moments gX(s1,,sr) sont respectivement :

cX(s1,,sr)=(j=1rpjeisj)netgX(s1,,sr)=(j=1rpjesj)n. Haut de la page.