4.1.5. Lois Multinomiales.
Nous généralisons les lois Binomiales au cas multivarié.
Propriété 1. Considérons v.a. , indépendants et de même loi
, avec et . Alors la loi du v.a.
est donnée par :
pour , avec .
Définition 1. La loi d’un v.a. satisfaisant à la propriété précédente est
appelée loi Multinomiale de paramètres ,
et . Nous notons .
Modélisation. Cette loi est adaptée à l’étude simultanée de plusieurs proportions. En effet, considérons un ensemble partitionné en
sous-ensembles. Cette partition des unités peut être induite, par exemple, par caractéristiques , exclusives les unes des autres. La proportion des unités
qui possèdent la caractéristique est . Nous avons bien entendu et . Nous tirons au hasard unités
avec remise. Le tirage ainsi défini nous permet la réalisation des
v.a. , indépendants et de même loi . Le codage et pour chaque composante des
implique que les composantes du v.a. correspondent au nombre d’unités extraites possédant chacune des caractéristiques
.
Remarque. Le coefficient est le nombre de manières différentes d’extraire
unités possédant unités possédant , parmi . Ces coefficients apparaissent dans la formule suivante, dite formule du
multinôme.
En posant cette identité permet de montrer que la somme des probabilités vaut bien .
Calculs avec R. La commande s’exprime par «dmultinom». La première option est un vecteur qui indique les réalisations à calculer, la deuxième est
le nombre de tirages et la troisième option de la commande est un vecteur qui donne les . Ainsi par exemple si , alors
se détermine avec la commande
dmultinom(c(5,2,3),size=10,prob=c(0.7,0.1,0.2))
;
réponse : 0.03388291.
Il est possible de réaliser des simulations d’observations d’une loi Multinomiale avec la commande
rmultinom et les paramètres souhaités.
Propriété 2. Si , alors pour tout , la loi
marginale de est une loi de
Binomiale . La loi marginale du couple est une loi Multinomiale
. La loi conditionnelle de sachant que
est une loi Binomiale .
Propriété 3. Si , alors la moyenne théorique de ce vecteur est le vecteur défini par :
Propriété 4. Si , alors la matrice des variances-covariances théoriques de ce vecteur est la matrice
définie par :
Propriété 5. Si , alors sa fonction caractéristique et sa fonction
génératrice des moments sont respectivement :
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