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4. Lois théoriques usuelles.

4.8. Lois de Weibull.

Les lois que nous présentons ici ont mentionnées en premier lieu par Fréchet puis étudiées par Weibull dont elles prirent le nom. Elles sont très utiles en contrôle de la qualité.

Définition 1. Une v.a. continue \(X\) suit une loi de Weibull, de paramètres \(\alpha, \beta \in {\mathbb R}_+^{\star}\) si elle admet pour densité de probabilité la fonction :

\[ f_X(t)=\cases{ \beta \alpha t^{\alpha-1}e^{-\beta t^{\alpha}} &\( {\it si}\quad 0< t\),\cr 0 & \({\it si}\quad t\leq 0\). } \]

Cela est noté \({\cal L}(X)={\cal W}(\alpha\ ;\ \beta)\).

Modélisation. La loi de Weibull peut décrire des phénomènes de durée de vie d’un matériel, d’un composant ou d’un système. Elle peut également modéliser le temps d’attente de la première panne, ou encore le temps écoulé entre deux pannes consécutives. Donc ce sont des lois d’une importance capitale en contrôle de la qualité et surtout en fiabilité.

Graphique 1. La Fig. 1 ci-dessous représente les courbes des densités de loi Weibull \({\cal W}(1\ ;\ 1)\), \({\cal W}(1,5\ ;\ 0,5)\) et \({\cal W}(3\ ;\ 0,33)\). Nous voyons évoluer l’allure de la densité en fonction des paramètres.

Densités de Weibull

Calculs avec R. Si \({\cal L}(X)={\cal W}(1,5\ ;\ 0,5)\), alors \(f_X(3)\) se détermine avec la commande :

dweibull(3,shape=1.5,scale=2) ; réponse : 0.1463043.

Pour calculer \(P(X\leq 3)\) nous utilisons la commande :

pweibull(3,shape=1.5,scale=2,lower.tail=T) ; réponse : 0.8407241.

Pour calculer la médiane nous utilisons la commande :

qweibull(0.5,shape=1.5,scale=2,lower.tail=T) ; réponse : 1.566440.

Il est possible de réaliser des simulations d’observations d’une loi Weibull avec la commande : rweibull et les paramètres souhaités.

Propriété 1. Si \({\cal L}(X)={\cal W}(\alpha\ ;\ \beta)\) alors :

\[ {\mathbb E}\lbrack X \rbrack = \frac{\Gamma(1+\frac{1}{\alpha})}{\beta^{\frac{1}{\alpha}}},\quad \sigma^2\lbrack X\rbrack =\frac{1}{\beta^{\frac{2}{\alpha}}} (\Gamma(\frac{2}{\alpha}+1)-\Gamma^2(\frac{1}{\alpha})),\quad Mo\lbrack X\rbrack=(\frac{\alpha-1}{\alpha\beta})^{\frac{1}{\alpha}}\quad {\it et}\quad Me\lbrack X\rbrack = (\frac{\ln{(2)}}{\beta})^{\frac{1}{\alpha}}. \]

De plus la fonction de répartition \( F_X(t)\) et la fonction de survie \(S_X(t)\) sont données par :

\[ F_X(t)=P(X\leq t)=1-\exp{(-\beta t^{\alpha})}, \quad S_X(t)=P(t<X)=\exp{(-\beta t^{\alpha})},\quad \forall t\in {\mathbb R_+^{\star}}. \]

Les lois de Weibull sont liées aux lois Gamma de la manière suivante.

Propriété 2. Si \({\cal L}(X)={\cal W}(\alpha\ ;\ \beta)\) alors \({\cal L}(X^{\alpha})={\cal GA}(1, \beta)={\cal E}(\beta)\). Si \({\cal L}(Y)={\cal GA}(1, \beta)={\cal E}(\beta)\) alors, pour tout \(\alpha\in {\mathbb R}_+^{\star}\), \({\cal L}(Y^{\frac{1}{\alpha}})={\cal W}(\alpha\ ;\ \beta)\).

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