1. Les observations et le modèle aléatoire.

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1. Les observations et le modèle aléatoire.

1.1. Variables - échantillons.
1.2. Applications.
1.3. Distributions statistiques.
1.9. Le modèle aléatoire.
  1.9.1. Espace mesurable. $\ast$
  1.9.2. Probabilité - Indépendance. $\ast$
  1.9.3. Variables aléatoires. $\ast$
  1.9.4. Vecteurs aléatoires. $\ast$
  1.9.5. Indépendance - Vraisemblance.
  1.9.6. Moments d’une v.a. .
  1.9.7. Moments et dépendances d’un v.a. de dim. 2. $\ast$
  1.9.8. Moments et dépendances d’un v.a. de dim. p. $\ast$

Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.

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© Photis NOBELIS, 2009 à 2025.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.

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1.9.4. Vecteurs aléatoires. $\ast$

Nous considérons les cas où nous observons deux variables sur chaque unité, c’est-à-dire que nous sommes en présence d’un vecteur aléatoire réel de dimension deux. Nous en donnons quelques éléments théoriques ; la généralisation à une dimension supérieure à deux se fait aisément. Nous notons ${\mathcal{B}}_2=\mathcal{B}({\mathbb{R}}^2)=\mathcal{B}\otimes \mathcal{B}$ la $\sigma -$algèbre des ensembles boréliens qui est engendrée, par exemple, par les pavés (ou les cylindres) ouverts de ${\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

Définition 1. Considérons un espace mesurable $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A})$. Nous appelons vecteur aléatoire réel, en abrégé v.a. de dimension deux toute application $X={}^t(X_1,X_2)$ de $\mathrm{\Omega }$ dans ${\mathbb{R}}^2$ telle que pour tout pavé ouvert $I\times J$ de ${\mathbb{R}}^2$, nous ayons :

• $X^{-1}(I\times J)=\{\omega :X(\omega )={}^t(X_1(\omega ),X_2(\omega ))\in I\times J\}=\{X\in I\times J\}\in \mathcal{A}.$

Nous dirons que $X(\omega )={}^t(X_1(\omega ),X_2(\omega ))=x={}^t(x_1,x_2)$ est une réalisation de $X$.

L’expression ${}^{t}U$ désigne le vecteur transposé du vecteur $U$.

Définition 2. Soit $X$ un v.a. réel défini sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$. Nous appelons loi de probabilité de $X$, la probabilité, notée $P_X$, image de $P$ par $X$, c’est-à-dire :

• $\mathrm{\forall }A\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^2),P_X(A)=P(X\in A)=P(\{\omega :X(\omega )\in A\}).$

La fonction de répartition de $X$ est donnée par :

• $\mathrm{\forall }(t_1,t_2)\in {\mathbb{R}}^2,F_X(t_1,t_2)=P(X\in ]-\mathrm{\infty },t_1[\times ]-\mathrm{\infty },t_2[)=P(X_1\le t_1,X_2\le t_2).$

Définition 3. Nous appelons loi marginale de $X_1$ la loi de probabilité définie par :

• $\mathrm{\forall }A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}),P_{X_1}(A)=P(X\in A\times \mathbb{R})=P(X_1\in A,X_2\in \mathbb{R}).$

Nous appelons loi conditionnelle de $X_1$ sachant que $(X_2\in B)$, avec $B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et tel que $P(X_2\in B)\ne 0$, la loi de probabilité définie par :

• $\mathrm{\forall }A\in \mathcal{B}(\mathbb{R}),P(X_1\in A\mid X_2\in B)={\displaystyle \frac{P(X_1\in A,X_2\in B)}{P(X_2\in B)}}.$

Remarque 1. Comme pour une v.a., nous avons en général deux types de v.a., les v.a. discrets et les v.a. continus ; nous décrivons ci-après leur loi. Nous pouvons aussi avoir un vecteur dont l’une des composante est une v.a. discrète et l’autre continue.

Propriété 1. Les v.a. discrets ont l’ensemble de leurs valeurs $X(\mathrm{\Omega })=\{(x_{1,j},x_{2,j^{\prime }}):j,j^{\prime }\in \mathbb{N}\}$ inclus dans ${\mathbb{N}}^2$ ou égal à ce dernier ensemble ; la loi de probabilité d’un tel vecteur est définie par la donnée de $\{p_{j,j^{\prime }}:j,j^{\prime }\in \mathbb{N}\}$ satisfaisant

• $\mathrm{\forall }j,j^{\prime },p_{j,j^{\prime }}\ge 0,{\displaystyle \sum _{j,j^{\prime }}{p}_{j,j^{\prime }}=1\mathrm{e}\mathrm{t}P(X_1=x_{1,j},X_2=x_{2,j^{\prime }})=p_{j,j^{\prime }}.}$

La fonction de répartition est donnée par :

• $F_X(t_1,t_2)=P(X_1\le t_1,X_2\le t_2)={\displaystyle \sum _{x_{1,j}\le t_1,x_{2,j^{\prime }}\le t_2}{p}_{j,j^{\prime }}.}$

La loi marginale de $X_1$ et celle de $X_2$ sont données par :

• $P(X_1=x_{1,j_0})=p_{j_0,\bullet }={\displaystyle \sum _{j^{\prime }}{p}_{j_0,j^{\prime }}\mathrm{e}\mathrm{t}P(X_2=x_{2,j_0^{\prime }})=p_{\bullet ,j_0^{\prime },}=\sum _j{p}_{j,j_0^{\prime }}.}$

Lorsque $p_{j_0,\bullet }>0$, la loi conditionnelle de $X_2$ sachant que $X_1=x_{1,j_0}$, par exemple, est définie par :

• $P(X_2=x_{2,j^{\prime }}\mid X_1=x_{1,j_0})={\displaystyle \frac{p_{j_0,j^{\prime }}}{p_{j_0,\bullet }}},\mathrm{\forall }{j}^{\prime }\in \mathbb{N}.$

Propriété 2. Les v.a. absolument continus, ou simplement continus, ont l’ensemble de leurs valeurs $X(\mathrm{\Omega })$ inclus dans ${\mathbb{R}}^2$ ou égal à ce dernier ensemble ; la loi de probabilité d’un tel vecteur est définie par la donnée d’une fonction positive $f_X(x_1,x_2)$ appelée densité de probabilité telle que :

• $P(X\in A)={\displaystyle {\iint }_A{f}_X(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2\mathrm{\forall }A\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^2)\mathrm{e}\mathrm{t}{\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{f}_X(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2=1.}$

La fonction de répartition satisfait à :

• $F_X(t_1,t_2)=P(X_1\le t_1,X_2\le t_2)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t_1}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t_2}{f}_X(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2,\mathrm{\forall }{t}_1,t_2\in \mathbb{R}.}$

De plus, nous avons :

• ${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial t_1\partial t_2}}{F}_X(t_1,t_2)=f_X(t_1,t_2),\mathrm{\forall }{t}_1,t_2\in \mathbb{R}.$

La loi marginale de $X_1$, par exemple, est définie par la densité :

• $f_{X_1}(x_1)={\displaystyle {\int }_{\mathbb{R}}{f}_X(x_1,x_2)d{x}_2,\mathrm{\forall }{x}_1\in \mathbb{R}.}$

Lorsque $f_{X_1}(x_0)>0$, la loi conditionnelle de $X_2$ sachant que $X_1=x_0$, par exemple, est définie par la densité :

• $f_{X_2\mid X_1=x_0}(x_2)={\displaystyle \frac{f_X(x_0,x_2)}{f_{X_1}(x_0)}},\mathrm{\forall }{x}_2\in \mathbb{R}.$

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