7.0. Généralités sur les tests.
7.1. Hypothèses et alternatives.
7.2. Risques et propriétés.
7.3. Test fondamental.
7.4. Tests paramétriques.
7.4.1. Contre-hypothèses unilatérales.
7.4.2. Contre-hypothèses bilatérales.
7.4.3. Contre-hypothèses intervalles.
7.4.4. Paramètres de nuisance (I). \(\ast\)
7.4.5. Paramètres de nuisance (II). \(\ast\)
7.4.6. Tests asymptotiques. \(\ast\)
7.5. Tests de caractéristiques.
7.6. Tests sur les paramètres de lois.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Soit \(X\) une v.a. dont la loi \({\cal L}(X)\) appartient à la famille exponentielle \({\cal L}_{(\theta,\ \zeta)}(X)\), de paramètre multidimensionnel et dont la vraisemblance s’écrit :
\[ \ln(L_{\zeta}(x_{\bullet} ;\ \theta))=\theta T(x_{\bullet})+\sideset{^t}{}\zeta U(x_{\bullet}) + c(\theta, \zeta)+d(x_{\bullet}), \]avec les paramètres \( \sideset{^t}{}(\theta, \zeta)=\sideset{^t}{}(\theta, \zeta_1, \cdots, \zeta_s)\in {\mathbb R}^{s+1}\) et les statistiques associées \(T, U=\sideset{^t}{}(U_1, \cdots, U_s)\). Nous supposons que l’ensemble contenant les paramètres est convexe et qu’aucun des paramètres n’est combinaison linéaire des autres. Le paramètre d’intérêt est \(\theta\) ; les paramètres inconnus \(\sideset{^t}{}(\zeta_1, \cdots, \zeta_s)\) sont appelés paramètres de nuisance. Nous savons de la Propriété 2 de la page concernant les estimateurs exhaustifs, que la statistique \(\sideset{^t}{}(T, U)\) est exhaustive. De plus la loi \({\cal L}_{\theta}(T\mid U=u)\), loi de \(T\) conditionnelle à \(U=u\), est de type exponentiel et ne dépend que de \(\theta\) et de \(u\). Nous supposons connaître ces lois et admettons que les conditions de ce modèle sont satisfaites dans toute la suite. Nous avons le résultat suivant :
Propriété 1. Soit \(\theta_0\in{\mathbb R}\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Nous supposons que les conditions du modèle précédent sont satisfaites. Nous observons \(T(x_{\bullet})=t\) et \(U(x_{\bullet})=u\). Pour tester toutes les Alternatives 1a \({\cal H}_0^{(1a)}\) contre \({\cal H}_1^{(1a)}\), (resp. les Alternatives 1b \({\cal H}_0^{(1b)}\) contre \({\cal H}_1^{(1b)}\)), nous considérons le test :
\[ \psi^{(1a)}(t, u)=\gamma_{\alpha}(u)I_{\lbrace T(x_{\bullet})=c_{\alpha}(u)\rbrace}(x_{\bullet})+I_{\lbrace c_{\alpha}(u)< T(x_{\bullet})\rbrace}(x_{\bullet}), \] \[ \Big(resp. \ \psi^{(1b)}(t, u)=\gamma_{\alpha}(u)I_{\lbrace T(x_{\bullet})=c_{\alpha}(u)\rbrace}(x_{\bullet})+I_{\lbrace T(x_{\bullet})< c_{\alpha}(u)\rbrace}(x_{\bullet})\Big), \]où les constantes \(\gamma_{\alpha}(u)\) et \(c_{\alpha}(u)\) sont déterminées par la relation :
\[ {\mathbb E}_{\theta_0}\big\lbrack \psi^{(1a)}\big(T(X_{\bullet}), U(X_{\bullet})\big)\mid U(X_{\bullet})=u\big\rbrack=\alpha, \] \[ \Big(resp.\ {\mathbb E}_{\theta_0}\big\lbrack \psi^{(1b)}\big(T(X_{\bullet}), U(X_{\bullet})\big)\mid U(X_{\bullet})=u\big\rbrack=\alpha\Big). \]Ce test est de seuil \(\alpha\), sans biais à ce seuil, U.P.P. et convergent.
Pour le voir, il suffit d’utiliser, conditionnellement à \(U(X_{\bullet})=u\), la même démarche que celle de la Propriété 2 du cas unilatéral.\(\quad \square\)
Remarque 1. La fonction puissance \(pu_{\psi^{(1a)}}(\theta, u)={\mathbb E}_{\theta}\lbrack \psi^{(1a)}(T(X_{\bullet}), U(X_{\bullet}))\mid U(X_{\bullet})=u\rbrack\), (resp. \(pu_{\psi^{(1b)}}(\theta, u)={\mathbb E}_{\theta}\lbrack \psi^{(1b)}(T(X_{\bullet}), U(X_{\bullet}))\mid U(X_{\bullet})=u\rbrack\)), est conditionnelle à l’observation \(U(X_{\bullet})=u\). En utilisant les propriétés de l’espérance conditionnelle, elle peut être interprétée comme une estimation sans biais de la fonction puissance inconditionnelle \(pu_{\psi^{(1a)}}(\theta, \zeta)={\mathbb E}_{\theta, \zeta}\lbrack \psi^{(1a)}\rbrack\), (resp. \(pu_{\psi^{(1b)}}(\theta, \zeta)={\mathbb E}_{\theta, \zeta}\lbrack \psi^{(1b)}\rbrack\)), qui est inconnue.
Des exemples sont donnés dans la présentation des tests sur les paramètres des lois usuelles.
Nous avons un résultat analogue pour les Alternatives 2.
Propriété 2. Soit \(\theta_0\in{\mathbb R}\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Nous supposons que les conditions du modèle exponentiel précédent sont satisfaites. Nous observons \(T(x_{\bullet})=t\) et \(U(x_{\bullet})=u\). Pour tester toutes les alternatives \({\cal H}_0^{(2)}\) contre \({\cal H}_1^{(2)}\) nous considérons le test :
\[ \psi^{(2)}(t, u) =\gamma_1(u)I_{\lbrace T(x_{\bullet})=c_1(u)\rbrace}(x_{\bullet})+I_{\lbrace T(X_{\bullet})\not\in \lbrack c_1(u)\ ;\ c_2(u)\rbrack\rbrace}(x_{\bullet})+\gamma_2(u)I_{\lbrace T(x_{\bullet})=c_2(u)\rbrace}(x_{\bullet}), \]les constantes \(\gamma_1(u), \gamma_2(u), c_1(u)\) et \(c_2(u)\) étant déterminées par les relations :
\[ {\mathbb E}_{\theta_0}\big\lbrack \psi^{(2)}\big(T(X_{\bullet}), U(X_{\bullet})\big)\mid U(X_{\bullet})=u\big\rbrack=\alpha, \] \[ {\mathbb E}_{\theta_0}\big\lbrack T(X_{\bullet})\psi^{(2)}\big(T(X_{\bullet}), U(X_{\bullet})\big)\mid U(X_{\bullet})=u\big\rbrack=\alpha{\mathbb E}_{\theta_0}\big\lbrack T(X_{\bullet})\mid U(X_{\bullet})=u\big\rbrack. \]Ce test est de seuil \(\alpha\), sans biais à ce seuil, U.P.P. parmi tous les tests sans biais à ce seuil et convergent.
Pour le voir, il suffit d’utiliser, conditionnellement à \(U(X_{\bullet})=u\), la même démarche que celle de la Propriété 2 des tests pour les Alternatives 2. \(\quad \square\)
La Remarque 1 est encore valable ici. Des exemples sont donnés dans la présentation des tests sur les paramètres des lois usuelles.
Nous avons un résultat analogue pour les Alternatives 3.
Propriété 3. Soit \(\theta_1, \theta_2\in{\mathbb R}\) avec \(\theta_1 < \theta_2\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Nous supposons que les conditions du modèle exponentiel précédent sont satisfaites. Nous observons \(T(x_{\bullet})=t\) et \(U(x_{\bullet})=u\). Pour tester toutes les alternatives \({\cal H}_0^{(3)}\) contre \({\cal H}_1^{(3)}\) nous considérons le test :
\[ \psi^{(3)}(t, u) =\gamma_1(u)I_{\lbrace T(x_{\bullet})=c_1(u)\rbrace}(x_{\bullet})+I_{\lbrace T(X_{\bullet})\not\in \lbrack c_1(u)\ ;\ c_2(u)\rbrack\rbrace}(x_{\bullet})+\gamma_2(u)I_{\lbrace T(x_{\bullet})=c_2(u)\rbrace}(x_{\bullet}), \]les constantes \(\gamma_1(u), \gamma_2(u), c_1(u)\) et \(c_2(u)\) étant déterminées par les relations :
\[ {\mathbb E}_{\theta_1}\big\lbrack \psi^{(3)}\big(T(X_{\bullet}), U(X_{\bullet})\big)\mid U(X_{\bullet})=u\big\rbrack=\alpha, \] \[ {\mathbb E}_{\theta_2}\big\lbrack \psi^{(3)}\big(T(X_{\bullet}), U(X_{\bullet})\big)\mid U(X_{\bullet})=u\big\rbrack=\alpha. \]Ce test est de seuil \(\alpha\), sans biais à ce seuil, U.P.P. parmi tous les tests sans biais à ce seuil et convergent.
Pour le voir, il suffit d’utiliser, conditionnellement à \(U(X_{\bullet})=u\), la même démarche que celle de la Propriété 5 des tests pour les Alternatives 3. \(\quad \square\)
La Remarque 1 est encore valable ici. Des exemples sont donnés dans la présentation des tests sur les paramètres des lois usuelles.
Enfin nous concluons cette partie avec un résultat analogue pour les Alternatives 4.
Propriété 4. Soit \(\theta_1, \theta_2\in{\mathbb R}\) avec \(\theta_1 < \theta_2\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Nous supposons que les conditions du modèle exponentiel précédent sont satisfaites. Nous observons \(T(x_{\bullet})=t\) et \(U(x_{\bullet})=u\). Pour tester toutes les alternatives \({\cal H}_0^{(4)}\) contre \({\cal H}_1^{(4)}\) nous considérons le test :
\[ \psi^{(4)}(t, u) =\gamma_1(u)I_{\lbrace T(x_{\bullet})=c_1(u)\rbrace}(x_{\bullet})+I_{\lbrace c_1(u) < T(x_{\bullet}) < c_2(u)\rbrace}(x_{\bullet})+\gamma_2(u)I_{\lbrace T(x_{\bullet})=c_2(u)\rbrace}(x_{\bullet}), \]les constantes \(\gamma_1(u), \gamma_2(u), c_1(u)\) et \(c_2(u)\) étant déterminées par les relations :
\[ {\mathbb E}_{\theta_1}\big\lbrack \psi^{(4)}\big(T(X_{\bullet}), U(X_{\bullet})\big)\mid U(X_{\bullet})=u\big\rbrack=\alpha, \] \[ {\mathbb E}_{\theta_2}\big\lbrack \psi^{(4}\big(T(X_{\bullet}), U(X_{\bullet})\big)\mid U(X_{\bullet})=u\big\rbrack=\alpha. \]Ce test est de seuil \(\alpha\), sans biais à ce seuil, U.P.P. et convergent.
Pour le voir, il suffit d’utiliser, conditionnellement à \(U(X_{\bullet})=u\), la même démarche que celle de la Propriété 2 des tests concernant les Alternatives 4.\(\quad \square\)
La Remarque 1 est encore valable ici. Des exemples sont donnés dans la présentation des tests sur les paramètres des lois usuelles.
Références. Une étude complète des tests paramétriques se trouve dans l’ouvrage de E. L. Lehmann, J. P. Romano (2005).
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