2.1. Caractéristiques de position.
2.2. Caractéristiques de dispersion.
2.3. Caractéristiques de forme.
2.4. Applications.
2.5. Caractéristiques théoriques.
2.5.1. Moyenne théorique.
2.5.2. Médiane et quantiles théoriques.
2.5.3. Mode théorique.
2.5.4. Variance et covariance théoriques.
2.5.5. Caractéristiques théoriques de forme.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Pour définir le mode, nous considérons les deux types de v.a. :
- Les v.a. discrètes définies par leurs valeurs et les probabilités associées \(\lbrace (x_i,\ p_i)\ :\ i\in \mathbb{N}\rbrace\).
- Les v.a. continues définies par leur fonction de densité \(f_X(t)\).
Définition 1. Nous appelons mode théorique le nombre, s’il existe, noté \( Mo\lbrack X\rbrack\) et défini par :
\[ Mo\lbrack X\rbrack = \arg\max_{j\in {\mathbb N}}p_j\qquad {\rm ou\ bien}\qquad Mo\lbrack X\rbrack=\arg\max_{t\in{\mathbb R}}f_X(t). \]Interprétation. Le mode est, en théorie, la valeur qui devrait être observée le plus souvent dans le cas discret. Dans le cas continu, c’est autour du mode que doivent se situer la plupart des observations.
Remarque 1. Une loi peut très bien ne pas avoir de mode ; elle peut en avoir un seul (loi unimodale) ou en avoir plusieurs (loi multimodale). Remarquons que ce dernier cas est très souvent l’indicateur d’un mélange de population.
Propriété 1. Si la loi d’une v.a. \(X\) est unimodale et symétrique par rapport à un nombre \(x_0\) alors \(Mo\lbrack X\rbrack=x_0\).
Nous avons une propriété analogue pour les moyenne et médiane théoriques.
Exemple 1. Nous supposons que \({\cal L}(X)={\cal P}(\lambda)\), loi de Poisson de paramètre \(\lambda\). Désignons le mode par \(k_0\). Il satisfait à :
\[ 1\leq\frac{P(X=k_0)}{P(X=k_0-1)}=\frac{\lambda}{k_0}\quad{\rm et}\quad 1\leq\frac{P(X=k_0)}{P(X=k_0+1)}=\frac{k_0+1}{\lambda}. \]Nous en déduisons \(\lambda-1\leq k_0\leq \lambda\). Ainsi nous retrouvons le résultat de la propriété 5 des lois de Poisson : le mode \(Mo\lbrack X\rbrack\) est compris entre les deux nombres \(\lambda-1\) et \(\lambda\). L’intervalle défini par ces deux nombres est de longueur \(1\), il contient soit un seul entier, soit deux, qui correspondent alors aux bornes de celui-ci. Ainsi nous avons soit un seul mode soit deux. \(\quad\square\)
Exemple 2. Nous supposons que \({\cal L}(X)={\cal GA}(\alpha\ ;\ \beta)\), loi Gamma de paramètres \(\alpha,\ \beta \in {\mathbb R}_+^{\star}\). La dérivée de la densité est :
\[ \frac{\partial f_X(t)}{\partial t}=f_X(t)(\alpha-1-\beta t). \]Ainsi nous retrouvons le résultat de la propriété 2 des lois Gamma : lorsque \(0< \alpha\leq 1\), la loi n’admet pas de mode, lorsque \(1< \alpha\), la loi admet comme mode \( Mo\lbrack X\rbrack=(\alpha-1)/\beta\). \(\quad\square\)
Exemple 3. Nous supposons que \({\cal L}(X)={\cal CA}(x_0\ ;\ \alpha)\), loi Cauchy de paramètres \(x_0\in {\mathbb R},\ \alpha \in {\mathbb R}_+^{\star}\). La dérivée de la densité est :
\[ \frac{\partial f_X(t)}{\partial t}=-\frac{2\alpha (t-x_0)}{\pi(\alpha^2+(t-x_0)^2))^2}. \]Nous retrouvons le résultat de la propriété 3 des lois Cauchy : le maximum de la densité est atteint pour \(t=x_0= Mo\lbrack X\rbrack\). Le mode est bien l’axe de symétrie de la densité. \(\quad\square\)
Enfin notons que cette notion s’étend au cas multivarié.
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