2.1. Caractéristiques de position.
2.2. Caractéristiques de dispersion.
2.3. Caractéristiques de forme.
2.4. Applications.
2.5. Caractéristiques théoriques.
2.5.1. Moyenne théorique.
2.5.2. Médiane et quantiles théoriques.
2.5.3. Mode théorique.
2.5.4. Variance et covariance théoriques.
2.5.5. Caractéristiques théoriques de forme.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
Je vous remercie de me signaler toutes mes omissions, erreurs, propositions d’amélioration du site, etc. Dans la mesure du possible, si mon temps le permet, je répondrai également à vos questions.
Des présentations plus détaillées et plus générales des moments d’une v.a. et d’un v.a. aléatoires se trouvent dans les pages 1.9.6, 1.9.7 et 1.9.8. Ici nous considérons les deux types de v.a. :
- Les v.a. discrètes définies par leurs valeurs et les probabilités associées \(\lbrace (x_i,\ p_i)\ :\ 1\leq i\rbrace\).
- Les v.a. continues définies par leur fonction de densité \(f_X(t)\).
Définition 1. La moyenne théorique ou espérance mathématique d’une v.a. \(X\) est définie, lorsqu’elle existe, par :
\[ \mu\lbrack X\rbrack = {\mathbb E}_P\lbrack X \rbrack = \sum_{1\leq i}x_i p_i \quad {\it ou\ \ bien}\quad \mu\lbrack X\rbrack = {\mathbb E}_P\lbrack X \rbrack =\int_{-\infty}^{+\infty}t f_X(t) dt, \]suivant le type de la v.a. . Lorsqu’il n’y pas de confusion possible, nous noterons simplement \({\mathbb E}_P={\mathbb E}\) et \(\mu\lbrack X\rbrack=\mu.\)
Interprétation. Si une « infinité » d’observations sont réalisées, alors la moyenne \(\overline{x}\) de celles-ci est égale à \( {\mathbb E}\lbrack X\rbrack\).
Propriété 1. Si une v.a. \(X\) admet une espérance alors, pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) constants, nous avons la relation :
\[ {\mathbb E}\lbrack aX + b\rbrack = a {\mathbb E}\lbrack X\rbrack + b. \]Si \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack= 0,\) alors \(X\) est dite centrée.
Propriété 2. Soit une \(g\) une fonction telle que la v.a. \(g(X)\) existe et admette une espérance mathématique alors :
\[ {\mathbb E}\lbrack g(X) \rbrack = \sum_{1\leq i}g(x_i) p_i \quad {\it ou\ \ bien}\quad {\mathbb E}\lbrack g(X) \rbrack =\int_{-\infty}^{+\infty}g(t) f_X(t) dt, \]Propriété 3. Si \(X_1\) et \(X_2\) sont des v.a. qui admettent des espérances, alors l’égalité suivante est vérifiée :
\[ {\mathbb E}\lbrack X_1 + X_2\rbrack= {\mathbb E}\lbrack X_1\rbrack + {\mathbb E}\lbrack X_2\rbrack. \]Propriété 4. Si la loi d’une v.a. \(X\) est symétrique par rapport à un nombre \(x_0\) et si cette variable admet une espérance alors \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=x_0\).
Nous avons une propriété analogue pour les médiane et mode théoriques.
Propriété 5. Si une v.a. \(X\) est positive et admet une espérance alors nous avons la relation :
\[ {\mathbb E}\lbrack X \rbrack = \int_{0}^{+\infty} P(X \geq t)dt. \]Nous avons une expression analogue pour les v.a. à valeurs dans \({\mathbb N}\).
La définition de moyenne théorique peut se généraliser au cas des vecteurs aléatoires.
Définition 2. Soit \(X=\ \sideset{^t}{}(X_1,\ \cdots,\ X_p)\) un vecteur aléatoire de dimension \(p\), alors la moyenne théorique de ce vecteur, lorsqu’elle existe, est un vecteur défini par :
\[ {\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\pmatrix{ {\mathbb E}\lbrack X_1\rbrack\cr \vdots \cr {\mathbb E}\lbrack X_p\rbrack \cr}, \]où \({\mathbb E}\lbrack X_j\rbrack= {\mathbb E}_{P_{X_j}}\lbrack X_j\rbrack\). De plus pour tout vecteur de nombres réels constants \(a=\sideset{^t}{}(a_1,\ \cdots,\ a_p)\) et tout nombre réel constant \(b\), nous avons :
\[ {\mathbb E}\lbrack \sideset{^t}{}aX + b\rbrack={\mathbb E}\left\lbrack \left(\sum_{j=1}^p a_jX_j\right) + b\right\rbrack=\left(\sum_{j=1}^p a_j{\mathbb E}\lbrack X_j\rbrack\right) + b = \sideset{^t}{}a{\mathbb E}\lbrack X\rbrack + b. \]Références. Des détails sur cette caractéristique sont donnés par exemple dans les ouvrages de W. Feller (1968) et de D. Foata, A. Fuchs (1996).
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