2.1. Caractéristiques de position.
2.2. Caractéristiques de dispersion.
2.3. Caractéristiques de forme.
2.4. Applications.
2.5. Caractéristiques théoriques.
2.5.1. Moyenne théorique.
2.5.2. Médiane et quantiles théoriques.
2.5.3. Mode théorique.
2.5.4. Variance et covariance théoriques.
2.5.5. Caractéristiques théoriques de forme.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
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Les caractéristiques théoriques de forme donnent l’allure de la répartition d’une v.a.. Pour décrire cette allure, en considérant le cas d’une v.a. continue, nous ferons référence au graphique de la densité. Les cas d’une v.a. discrète est analogue. Les paramètres théoriques de forme sont définis à partir de la notion générale de moment. Des présentations plus détaillées et plus générales des moments d’une v.a. et d’un v.a. trouvent dans les pages 1.9.6, 1.9.7 et 1.9.8. Ici nous considérons une v.a. \(X\).
Définition 1. Les expressions suivantes, lorsqu’elles existent, définissent le moment d’ordre \(k\) et le moment centré d’ordre \(k\) théoriques d’une v.a. :
\[ M_k\lbrack X\rbrack = {\mathbb E}_P\lbrack X^k \rbrack,\qquad {\rm {\it et}} \qquad \mu_k\lbrack X\rbrack = {\mathbb E}_P\left\lbrack (X-{\mathbb E}_P\lbrack X \rbrack)^k \right\rbrack. \]Interprétation. Ces caractéristiques peuvent s’interpréter en termes de moments mécaniques.
Remarques. Bien évidemment le moment d’ordre \(k=1\) est l’espérance \({\mathbb E}_P\lbrack X \rbrack\) et le moment centré d’ordre \(k=2\) est la variance théorique \(\sigma^2\lbrack X\rbrack\). Nous pouvons estimer ces caractéristiques à partir d’un échantillon d’observations de la v.a. avec les caractéristiques calculées sur un échantillon.
Il existe plusieurs paramètres de forme fondés sur les moments ou encore sur les quantiles. Nous présentons les paramètres les plus utilisés, introduits par Fisher.
Définition 2. Nous appelons coefficient d’asymétrie théorique d’une v.a. le rapport, lorsqu’il existe, noté \(\gamma_1\lbrack X\rbrack\), entre le moment centré d’ordre \(3\) et le cube de l’écart type théoriques, c’est-à-dire :
\[ \gamma_1\lbrack X\rbrack = \frac{\mu_3\rbrack X\lbrack}{\sigma^3\lbrack X\rbrack}. \]Interprétation. Si la densité de la v.a. est symétrique autour de l’espérance, le coefficient d’asymétrie est nul. Dans le cas où il est positif, nous avons une asymétrie gauche, la densité est plus élevée à gauche ; l’asymétrie droite correspond au cas où il est négatif et la densité est plus élevée à droite.
Définition 3. Nous appelons coefficient d’aplatissement théorique d’une v.a. le rapport, lorsqu’il existe, noté \(\gamma_2\lbrack X\rbrack\), entre le moment centré d’ordre \(4\) et la puissance \(4\) de l’écart type théoriques, rapport diminué de \(3\), c’est-à-dire :
\[ \gamma_2\lbrack X\rbrack = \frac{\mu_4\lbrack X\rbrack}{\sigma^4\lbrack X\rbrack}-3. \]Interprétation. Ce coefficient est très utile quand nous avons à faire à des v.a. symétriques. Dans ce cas, lorsque le coefficient d’aplatissement est nul nous disons que la v.a. est mésokurtique ou encore de forme gaussienne ou normale, c’est-à-dire que sa densité a la forme d’une cloche comme la densité d’une loi Normale. Lorsqu’il est positif, nous avons une v.a. leptokurtique ou surgaussienne ou encore surnormale, c’est-à-dire que la densité est moins aplatie qu’une densité normale. Lorsqu’il est négatif nous disons que la v.a. est platykurtique ou sous-gaussienne ou encore sous-normale, c’est-à-dire que la densité est plus aplatie qu’une densité normale.
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