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6. Estimation.

6.1.3. Estimateur asymptotiquement Normal.

Il est très utile de connaître la loi d’un estimateur. Elle permet en effet de calculer les caractéristiques de l’estimateur et de construire un intervalle de confiance du paramètre.

Dans certain cas, cette loi peut être déterminée directement à partir de celle de la v.a. observée X. C’est le cas en particulier, lorsque la somme de l’échantillon X apparaît dans l’expression de l’estimateur, pour plusieurs familles de lois de probabilités dites lois stables et qui sont stables par addition comme pour les lois de Bernoulli, de Poisson, Normales, Gamma, etc.

Une autre possibilité est de pouvoir utiliser une convergence en loi, en général, ou le T.L.C., en particulier. Pour ce dernier cas nous introduisons la propriété suivante.

Définition 1. Soit T(X) un estimateur du paramètre θ de la loi Pθ d’une v.a. observée X. Nous supposons qu’il existe deux fonctions a=a(θ, n) et b=b(θ, n) telles que :

limn+L(Tab)=N(0 ; 1).

Nous disons alors que T est un estimateur asymptotiquement normal, en abrégé a.N..

Remarque. La loi asymptotique sera d’autant plus utile que les fonctions a et b ont une expression simple. Dans certains cas il sera possible d’obtenir une amélioration à l’aide d’une transformation (par la stabilisation de la variance par exemple).

Nous présentons deux exemples. Dans le premier nous avons la normalité asymptotique, dans le second nous ne l’avons pas.

Exemple 1. Soit X une v.a. centrée et possédant un moment d’ordre 4 : E[X4]=μ4<+. Dans ces conditions nous avons σ2[X]=E[X2]=σ2<+ et E[X]=μ=0. Soit un n-échantillon X ; pour estimer σ2 nous considérons l’estimateur :

T(X)=1ni=1nXi2.

Il est alors facile de constater que :

E[T]=σ2etσ2[T]=1n(μ4σ4).

Ainsi T est un estimateur convergent (cf. Propriété 1) et sans biais de σ2 ; de plus il satisfait aux conditions du T.L.C.. Nous pouvons écrire :

limn+L(n(Tσ2)(μ4σ4))=N(0 ; 1).

En posant a=σ2 et b=μ4σ4n, nous pouvons conclure que T est a.N..

Exemple 2. Soit X une v.a. de loi uniforme contine U(]0 ; θ[, avec 0<θ. Nous savons alors que :

fX(t)={0sit]0 ; θ[,1θsit]0 ; θ[.etFX(t)={0sit0,tθsi0<t<θ,1siθt.

Soit un n-échantillon X ; pour estimer θ nous considérons l’estimateur :

T(X)=X(n)=maxi=1nXi.

Des propriétés de la statistique d’ordre nous avons :

FX(n)(t)=(FX(t))n={0sit0,tnθnsi0<t<θ,1siθt.etfX(n)(t)={0sit]0 ; θ[,nt(n1)θnsit]0 ; θ[.

Un calcul standard nous donne :

E[T]=nθn+1 n+θetσ2[T]=nθ2(n+1)2(n+2) n+0.

A partir des f.r., avec un calcul sur les probabilités, nous pouvons montrer que limn+L(n(θX(n)))= GA(1 ; 1θ). En conclusion l’estimateur T est convergent, asymptotiquement sans biais, mais n’est pas asymptotiquement Normal.

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