6.1.3. Estimateur asymptotiquement Normal.
Il est très utile de connaître la loi d’un estimateur. Elle permet en effet de calculer les caractéristiques de l’estimateur et de construire un
intervalle de confiance du paramètre.
Dans certain cas, cette loi peut être déterminée directement à partir de celle de la v.a. observée . C’est le cas en particulier,
lorsque la somme de l’échantillon apparaît dans l’expression de l’estimateur, pour plusieurs familles de lois de probabilités dites
lois stables et qui sont stables par addition comme pour les lois de Bernoulli, de
Poisson,
Normales, Gamma,
etc.
Une autre possibilité est de pouvoir utiliser une convergence en loi, en général, ou le T.L.C., en particulier. Pour ce dernier cas nous
introduisons la propriété suivante.
Définition 1. Soit un estimateur du paramètre de la loi d’une v.a.
observée . Nous supposons qu’il existe deux fonctions et telles que :
Nous disons alors que est un estimateur
asymptotiquement normal, en abrégé
a.N..
Remarque. La loi asymptotique sera d’autant plus utile que les fonctions et ont une expression simple. Dans certains cas il sera possible d’obtenir une amélioration
à l’aide d’une transformation (par la stabilisation de la variance par exemple).
Nous présentons deux exemples. Dans le premier nous avons la normalité asymptotique, dans le second nous ne l’avons pas.
Exemple 1. Soit une v.a. centrée et possédant un moment d’ordre :
Dans ces conditions nous avons et . Soit un
-échantillon ; pour estimer nous considérons l’estimateur :
Il est alors facile de constater que :
Ainsi est un estimateur convergent (cf. Propriété 1) et
sans biais de ; de plus il satisfait aux conditions du
T.L.C.. Nous pouvons écrire :
En posant et , nous pouvons conclure que est a.N..
Exemple 2. Soit une v.a. de loi
uniforme contine , avec . Nous savons alors que :
Soit un -échantillon ; pour estimer nous considérons l’estimateur :
Des propriétés de la statistique d’ordre nous avons :
Un calcul standard nous donne :
A partir des f.r., avec un calcul sur les probabilités, nous pouvons montrer que
. En conclusion l’estimateur est convergent,
asymptotiquement sans biais, mais n’est pas asymptotiquement Normal.
Haut de la page.