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7. Tests classiques d’hypothèses.

7.4.5. Tests avec paramètres de nuisance (II) - Tests inconditionnels. \(\ast\)

Nous nous plaçons dans les mêmes conditions que celles des tests conditionnels, c’est-à-dire que nous étudions une v.a. \(X\) dont la loi \({\cal L}(X)\) appartient à la famille exponentielle \({\cal L}_{(\theta,\ \zeta)}(X)\), de paramètre multidimensionnel et dont la vraisemblance s’écrit :

\[ \ln(L_{\zeta}(x_{\bullet} ;\ \theta))=\theta T(x_{\bullet})+\sideset{^t}{}\zeta U(x_{\bullet}) + c(\theta, \zeta)+d(x_{\bullet}), \]

avec les paramètres \( \sideset{^t}{}(\theta, \zeta)=\sideset{^t}{}(\theta, \zeta_1, \cdots, \zeta_s)\in {\mathbb R}^{s+1}\) et les statistiques associées \(T, U=\sideset{^t}{}(U_1, \cdots, U_s)\). Nous supposons que l’ensemble contenant les paramètres est convexe et qu’aucun des paramètres n’est combinaison linéaire des autres. Le paramètre d’intérêt est \(\theta\) ; les paramètres inconnus \(\sideset{^t}{}(\zeta_1, \cdots, \zeta_s)\) sont des paramètres de nuisance. Nous savons de la Propriété 2. concernant les estimateurs exhaustifs que la statistique \(\sideset{^t}{}(T, U)\) est exhaustive. De plus la loi \({\cal L}_{\theta}(T\mid U=u)\), loi de \(T\) conditionnelle à \(U=u\), est de type exponentiel et ne dépend que de \(\theta\) et \(u\). Nous supposons connaître ces lois. Cependant, pour les lois usuelles, il existe des cas où, après transformations, la loi de \(T\) ne dépend pas de \(U\). C’est cette situation que nous présentons dans cette page. Nous avons le résultat suivant :

Propriété 1. Soit \(\theta_0\in{\mathbb R}\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Nous supposons que les conditions du modèle exponentiel précédent sont satisfaites. De plus nous supposons qu’il existe une fonction \(h(t,u)\) monotone en t pour \(u\) fixé, telle que la statistique \(V=h(T,U)\) soit indépendante de \(U\) lorsque \(\theta=\theta_0\). Nous observons \(T(x_{\bullet})=t\), \(U(x_{\bullet})=u\), alors \(V(x_{\bullet})=h(t,u)=v\). Pour tester toutes les Alternatives 1a \({\cal H}_0^{(1a)}\) contre \({\cal H}_1^{(1a)}\), (resp. les Alternatives 1b \({\cal H}_0^{(1a)}\) contre \({\cal H}_1^{(1b)}\)), nous considérons le test :

\[ \psi^{(1a)}(v)=\gamma_{\alpha}I_{\lbrace V(x_{\bullet})=c_{\alpha}\rbrace}(x_{\bullet})+I_{\lbrace c_{\alpha}< V(x_{\bullet})\rbrace}(x_{\bullet}), \] \[ \Big(resp. \ \psi^{(1b)}(v)=\gamma_{\alpha}I_{\lbrace V(x_{\bullet})=c_{\alpha}\rbrace}(x_{\bullet})+I_{\lbrace V(x_{\bullet})<c_{\alpha}\rbrace}(x_{\bullet})\Big), \]

où les constantes \(\gamma_{\alpha}\) et \(c_{\alpha}\) sont déterminées par la relation \({\mathbb E}_{\theta_0}\lbrack \psi^{(1a)}(V(X_{\bullet}))\rbrack=\alpha\) (resp. \({\mathbb E}_{\theta_0}\lbrack \psi^{(1b)}(V(X_{\bullet}))\rbrack=\alpha\)). Ce test est de seuil \(\alpha\), sans biais à ce seuil, U.P.P. et convergent

Pour le voir, il suffit d’appliquer la fonction \(h\) au test de la Propriété 1 du cas conditionnel . \(\quad \square\)

Remarque 1. La Remarque 1 du cas conditionnel est encore valable ici. La fonction puissance \(pu_{\psi^{(1a)}}(\theta,\ u)={\mathbb E}_{\theta}\lbrack \psi^{(1a)}(V(X_{\bullet}))\mid U(X_{\bullet})=u\rbrack\), (resp. \(pu_{\psi^{(1b)}}(\theta,\ u)={\mathbb E}_{\theta}\lbrack \psi^{(1b)}(V(X_{\bullet}))\mid U(X_{\bullet})=u\rbrack\) ), pour \(\theta\not=\theta_0\), est conditionnelle à l’observation \(U(X_{\bullet})=u\). En utilisant les propriétés de l’espérance conditionnelle, elle peut être interprétée comme une estimation sans biais de la fonction puissance inconditionnelle \(pu_{\psi^{(1a)}}(\theta, \zeta)={\mathbb E}_{\theta, \zeta}\lbrack \psi^{(1)}\rbrack\), (resp. \(pu_{\psi^{(1)}}(\theta, \zeta)={\mathbb E}_{\theta, \zeta}\lbrack \psi^{(1b)}\rbrack\)), qui est inconnue.

Remarque 2. Dans le cas du modèle exponentiel, la statistique \(U(X_{\bullet})\) est exhaustive et complète. Nous en déduisons que lorsque \(V(X_{\bullet})\) est une statistique pivotale par rapport à \(\zeta\), c’est-à-dire lorsque sa loi est indépendante de ce paramètre, cette statistique est indépendante de \(U\) et nous pouvons appliquer la Propriété ci-dessus. De plus nous avons :

\[ pu_{\psi^{(1a)}}(\theta)={\mathbb E}_{\theta}\lbrack \psi^{(1a)}(V(X_{\bullet}))\mid U(X_{\bullet})=u\rbrack={\mathbb E}_{\theta}\lbrack \psi^{(1a)}(V(X_{\bullet}))\rbrack,\quad \] \[ \Big(resp. pu_{\psi^{(1b)}}(\theta)={\mathbb E}_{\theta}\lbrack \psi^{(1b)}(V(X_{\bullet}))\mid U(X_{\bullet})=u\rbrack={\mathbb E}_{\theta}\lbrack \psi^{(1b)}(V(X_{\bullet}))\rbrack\Big),\ \forall \theta\in{\Theta}. \]

Des exemples sont donnés dans la présentation des tests sur les paramètres des lois usuelles.

Nous avons un résultat analogue pour les Alternatives 2.

Propriété 2. Soit \(\theta_0\in{\mathbb R}\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Nous supposons que les conditions du modèle exponentiel précédent sont satisfaites. De plus nous supposons qu’il existe une fonction \(h(t,u)=a(u)t+b(u)\) avec \(a(t)> 0\), telle que statistique la \(V=h(T,U)\) soit indépendante de \(U\) lorsque \(\theta=\theta_0\). Nous observons \(T(x_{\bullet})=t\), \(U(x_{\bullet})=u\), alors \(V(x_{\bullet})=h(t,u)=v\). Pour tester toutes les alternatives \({\cal H}_0^{(2)}\) contre \({\cal H}_1^{(2)}\) nous considérons le test :

\[ \psi^{(2)}(v) =\gamma_1I_{\lbrace V(x_{\bullet})=c_1\rbrace}(x_{\bullet})+I_{\lbrace V(x_{\bullet})\not\in \lbrack c_1\ ;\ c_2\rbrack\rbrace}(x_{\bullet})+\gamma_2I_{\lbrace V(x_{\bullet})=c_2\rbrace}(x_{\bullet}), \]

les constantes \(\gamma_1, \gamma_2, c_1\) et \(c_2\) étant déterminées par les relations :

\[ {\mathbb E}_{\theta_0}\big\lbrack \psi^{(2)}\big(V(X_{\bullet})\big)\big\rbrack=\alpha, \quad {\mathbb E}_{\theta_0}\big\lbrack V(X_{\bullet})\psi^{(2)}\big(V(X_{\bullet}))\big\rbrack= \alpha{\mathbb E}_{\theta_0}\big\lbrack V(X_{\bullet})\big\rbrack. \]

Ce test est de seuil \(\alpha\), sans biais à ce seuil, U.P.P. parmi tous les tests sans biais à ce seuil et convergent

Pour le voir, il suffit d’appliquer la fonction \(h\) au test de la Propriété 2 du cas conditionnel. \(\quad \square\)

Les Remarque 1 et Remarque 2 ci-dessus sont encore valables ici. Des exemples sont donnés dans la présentation des tests sur les paramètres des lois usuelles.

Nous avons un résultat analogue pour les Alternatives 3.

Propriété 3. Soit \(\theta_1, \theta_2\in{\mathbb R}\) avec \(\theta_1 < \theta_2\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Nous supposons que les conditions du modèle exponentiel précédent sont satisfaites. De plus nous supposons qu’il existe une fonction \(h(t,u)\) monotone en t pour \(u\) fixé, telle que la statistique \(V=h(T,U)\) soit indépendante de \(U\) lorsque \(\theta=\theta_1, \theta_2\). Nous observons \(T(x_{\bullet})=t\), \(U(x_{\bullet})=u\), alors \(V(x_{\bullet})=h(t,u)=v\). Pour tester toutes les alternatives \({\cal H}_0^{(3)}\) contre \({\cal H}_1^{(3)}\) nous considérons le test :

\[ \psi^{(3)}(s) =\gamma_1I_{\lbrace V(x_{\bullet})=c_1\rbrace}(x_{\bullet})+I_{\lbrace V(x_{\bullet})\not\in \lbrack c_1\ ;\ c_2\rbrack\rbrace}(x_{\bullet})+\gamma_2I_{\lbrace V(x_{\bullet})=c_2\rbrace}(x_{\bullet}), \]

les constantes \(\gamma_1, \gamma_2, c_1\) et \(c_2\) étant déterminées par les relations :

\[ {\mathbb E}_{\theta_1}\big\lbrack \psi^{(3)}(V(X_{\bullet}))\big\rbrack=\alpha,\quad {\mathbb E}_{\theta_2}\big\lbrack \psi^{(3)}(V(X_{\bullet}))\big\rbrack=\alpha. \]

Ce test est de seuil \(\alpha\), sans biais à ce seuil, U.P.P. parmi tous les tests sans biais à ce seuil et convergent

Pour le voir, il suffit d’appliquer la fonction \(h\) au test de la Propriété 3 du cas conditionnel. \(\quad \square\)

Les Remarque 1 et Remarque 2 ci-dessus sont encore valables ici. Des exemples sont donnés dans la présentation des tests sur les paramètres des lois usuelles.

Nous avons un résultat analogue pour les Alternative 4.

Propriété 4. Soit \(\theta_1, \theta_2\in{\mathbb R}\) avec \(\theta_1 < \theta_2\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Nous supposons que les conditions du modèle exponentiel précédent sont satisfaites. De plus nous supposons qu’il existe une fonction \(h(t,u)\) monotone en t pour \(u\) fixé, telle que la statistique \(V=h(T,U)\) soit indépendante de \(U\) lorsque \(\theta=\theta_1, \theta_2\). Nous observons \(T(x_{\bullet})=t\), \(U(x_{\bullet})=u\), alors \(V(x_{\bullet})=h(t,u)=v\). Pour tester toutes les alternatives \({\cal H}_0^{(4)}\) contre \({\cal H}_1^{(4)}\) nous considérons le test :

\[ \psi^{(4)}(v) =\gamma_1I_{\lbrace V(x_{\bullet})=c_1\rbrace}(x_{\bullet})+I_{\lbrace c_1 < V(x_{\bullet}) < c_2\rbrace}(x_{\bullet})+\gamma_2I_{\lbrace V(x_{\bullet})=c_2\rbrace}(x_{\bullet}), \]

les constantes \(\gamma_1, \gamma_2, c_1\) et \(c_2\) étant déterminées par les relations :

\[ {\mathbb E}_{\theta_1}\big\lbrack \psi^{(4)}(V(X_{\bullet}))\big\rbrack=\alpha,\quad {\mathbb E}_{\theta_2}\big\lbrack \psi^{(4)}(V(X_{\bullet}))\big\rbrack=\alpha. \]

Ce test est de seuil \(\alpha\), sans biais à ce seuil, U.P.P. et convergent

Pour le voir, il suffit d’appliquer la fonction \(h\) au test de la Propriété 4 du cas conditionnel. \(\quad \square\)

Les Remarque 1 et Remarque 2 ci-dessus sont encore valables ici. Des exemples sont donnés dans la présentation des tests sur les paramètres des lois usuelles.

Références. Une étude complète des tests paramétriques se trouve dans l’ouvrage de E. L. Lehmann, J. P. Romano (2005).

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