6.0. Généralités sur l’Estimation.
6.1. Propriétés d’un estimateur.
6.2. Méthodes d’estimation.
6.3. Estimation par intervalle.
6.3.1. Intervalle de prédiction.
6.3.2. Intervalle exact.
6.3.3. Intervalle par pivot.
6.3.4. Intervalle asymptotique.
6.3.5. Intervalle par f.r..
6.4. Estimation de caractéristiques.
6.5. Estimation d’une f.r. .
6.6. Estimation d’une densité.
6.7. Estimation des paramètres de lois.
Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.
© Photis NOBELIS, 2009 à
.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.
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A partir de la notion d’intervalle de prédiction, la démarche générale de construction d’un intervalle de confiance est fondée sur le résultat suivant.
Propriété 1. Soit \(T(X_{\bullet})\) un estimateur du paramètre \(\theta\). Nous définissons les deux nombres :
\[ \begin{array}{c} \underline{\theta}(x_{\bullet})=min\lbrace\theta\in\Theta : T(x_{\bullet})\in I_{pred}(P_{\theta}\ ;\ \alpha)\rbrace,\\ \overline{\theta}(x_{\bullet})=max\lbrace\theta\in\Theta : T(x_{\bullet})\in I_{pred}(P_{\theta}\ ;\ \alpha)\rbrace.\\ \end{array} \]Alors \(\lbrack {\underline \theta}(x_{\bullet})\ ;\ {\overline \theta}(x_{\bullet})\rbrack=I_{conf}(\theta\ ;\ \alpha\ ;\ x_{\bullet})\) est un intervalle de confiance de \(\theta\) au seuil de \(100\alpha\ \%\).
Pour le voir il suffit de constater que:
\[ \underline{\theta}(x_{\bullet})\leq \theta\leq \overline{\theta}(x_{\bullet}) \Longleftrightarrow \underline{c}(\theta)\leq T(x_{\bullet})\leq \overline{c}(\theta). \]Le résultat est obtenu en prenant les probabilités des événements correspondants. \(\quad\square\)
Exemple 1. Nous avons observé dans une file d’attente durant \(n=10\) intervalles de temps identiques le nombre de personnes dans la file. Nous les enregistrons dans le vecteur Donnees. Voici ces observations :
Donnees, réponse : 1 0 0 1 2 1 1 2 1 2
Nous admettons qu’elles sont des réalisations indépendantes d’une même loi de Poisson \({\cal P}(\lambda)\). De la Propriété 3 de ces lois nous savons que \({\cal L}(\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i)={\cal P}(n\lambda)\). C’est cette propriété qui nous permet de construire l’intervalle de confiance au seuil de \(5\ \%\). Nous utilisons la procédure créée dans R PoissonEstimaParaExact. Après l’avoir compilée («sourcé»e), nous l’exécutons en indiquant l’objet contenant les observations et le seuil de signification de l’intevalle ; voici le résultat :
PoissonEstimaParaExact(Donnees,0.05) ;
réponse :
Estimation ponctuelle du paramètre théorique : 1.1
Intervalle de confiance exact du paramètre de la loi de Poisson
au seuil de 5 % :
[ 0.575 ; 1.982 ]
Nous en déduisons que \(\overline{x}=\widehat{\lambda}=1.1\) et que \(I_{conf}(\lambda\ ;\ 0,05\ ;\ x_{\bullet})=\lbrack 0,575\ ;\ 1,982\rbrack\). L’estimation du paramètre est la meilleure possible. Remarquons que l’intervalle de confiance n’est pas symétrique autour de la moyenne et que son amplitude est 1,405 qui correspond à deux écarts type environ :
sd(Donnees), réponse : 0.7378648 .\(\quad \square\)
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