2. Descriptions numériques.

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2. Descriptions numériques.

2.1. Caractéristiques de position.
2.2. Caractéristiques de dispersion.
2.3. Caractéristiques de forme.
2.4. Applications.
2.5. Caractéristiques théoriques.
  2.5.1. Moyenne théorique.
  2.5.2. Médiane et quantiles théoriques.
  2.5.3. Mode théorique.
  2.5.4. Variance et covariance théoriques.
  2.5.5. Caractéristiques théoriques de forme.

Références bibliographiques.
Notations.
Commandes de R.
Index alphabétique.
Index des Mathématiciens - Statisticiens.

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© Photis NOBELIS, 2009 à 2025.
Ancien Maître de Conférences en Statistique de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg.

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2.5.2. Médiane et quantiles théoriques.

La notion de quantile est fondée sur la fonction suivante. Soit une v.a. $X$ et $F(t)$ sa f.r..

Définition 1. Nous appelons fonction quantile La fonction inverse généralisée de $F(t)$, c’est-à-dire :

$$Q_X(u)=F^{-1}(u)=inf\{t\in \mathbb{R}:F(t)\ge u\}.$$

Soit $p\in ]0;1[$. Nous appelons quantile théorique d’ordre $p$ de $X$ le nombre $Q_X(p)=Q(p)=F^{-1}(p)$.

Propriété 1. Le quantile d’ordre $p$ d’une v.a. $X$ satisfait aux relations :

$$P(X\le Q(p))\ge p\mathit{e}\mathit{t}P(Q(p)\le X)\ge 1-p,$$

avec égalités si $\mathcal{L}(X)$ est continue.

Interprétation. Les relations précédentes montrent que la probabilité d’observer une réalisation de $X$ à gauche du quantile d’ordre $p$ est supérieure à $p$ et celle à droite de celui-ci est supérieure à $1-p$.

Définition 2. La médiane théorique d’une v.a. $X$ est le quantile théorique d’ordre $0,5$ ; elle est noté $Me[X]=Q_X(0,5)$. Le premier quartile théorique et le troisième quartile théorique sont respectivement les quantiles d’ordre $0,25$ et $0,75$.

Il est possible de définir un interquartile théorique comme différence du troisième quartile et du premier quartile, mais c’est un paramètre qui n’est pas utilisé.

Interprétation. La médiane et les quartiles théoriques séparent les valeurs de la v.a. en quatre sous-ensembles, chacun ayant la même probabilité $0,25$ d’être observé.

Propriété 2. Si la loi d’une v.a. $X$ est symétrique par rapport à un nombre $x_0$ alors $Me[X]=x_0$.

Nous avons une propriété analogue pour les moyenne et mode théoriques.

Exemple 1. Nous supposons que $\mathcal{L}(X)=\mathcal{P}(2,5)$, loi de Poisson de paramètre $\lambda =2,5$. Alors avec les outils de R nous avons la médiane et les quartiles théoriques de cette loi.

qpois (0.5, 2.5, lower.tail=TRUE, log.p=FALSE) ; réponse : $2$.

qpois (0.25, 2.5, lower.tail=TRUE, log.p=FALSE) ; réponse : $1$.

qpois (0.75, 2.5, lower.tail=TRUE, log.p=FALSE) ; réponse : $3$.

Nous constatons que la moitié de la probabilité est porté par l’intervalle $[1;3]$. Nous observons également le décalage entre la médiane $Me[X]=2$ et la moyenne $\mathbb{E}[X]=\lambda =2,5$ : asymétrie gauche. $◻$

Exemple 2. Nous supposons que $\mathcal{L}(X)=\mathcal{N}(\mu ;{\sigma }^2)$, loi Normale de paramètre $\mu ,{\sigma }^2$. Nous savons que $Z=(X-\mu )/\sigma$ suit une loi Normale standard $\mathcal{L}(X)=\mathcal{N}(0;1)$. Les outils de R nous donnent la médiane et les quartiles théoriques de cette loi.

qnorm (0.25, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE, log.p=FALSE) ; réponse : $-0.6744898$.

qnorm (0.5, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE, log.p=FALSE) ; réponse : $0$.

qnorm (0.75, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE, log.p=FALSE) ; réponse : $0.6744898$.

Nous pouvons donc en conclure que $Q_X(0,25)=\mu -0,6745\sigma$, $Me[X]=\mu$ et $Q_X(0,75)=\mu +0,6745\sigma$. Nous retrouvons la symétrie de la loi. $◻$

Comme il n’y a pas d’ordre total dans ${\mathbb{R}}^p$, le notion de quantile ne peut pas se généraliser dans le cas vectoriel.

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