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7. Tests d’hypothèses.

7.5.1. Tests asymptotiques sur une moyenne théorique (I) - Contre-hypothèses unilatérales et intervalles.

Nous présentons ici des tests asymptotiques pour les Alternatives 1.a, Alternatives 1.b et Alternatives 2 concernant la moyenne théorique d’une v.a. de loi inconnue. Nous utilisons, comme pour l’estimation d’une moyenne théorique, des méthodes asymptotiques générales, forcément approximatimatives. Les différents risques et valeurs critiques sont établis pour \(n\rightarrow+\infty\) ; ces résultats devront être interprétés avec réserve. Dans chaque cas un exemple est donné.

Considérons une v.a. \(X\) dont la loi est inconnue. Nous supposons qu’elle admet une variance théorique, \({\mathbb V}ar\lbrack X\rbrack=\sigma^2\), et donc également une moyenne théorique, \({\mathbb E}\lbrack X\rbrack=\mu\). Soit \(X_{\bullet}=(X_1,\ \cdots,\ X_n)\) un \(n\)-échantillon de \(X\). Nos résultats sont fondés sur le T.L.C. et la loi faible des grands nombres. Nous considérons les statistiques :

\[ \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i,\quad S_c^2(X_{\bullet}) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2, \]

moyenne et variance empirique. La condition d’existence de \(\sigma^2\) et la Propriété 3 dans l’estimation d’une moyenne théorique nous donnent :

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} {\cal L}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)={\cal N}(0\ ;\ 1),\qquad S_c^2(X_{\bullet})\overset{P}{\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow}\sigma^2\qquad {\rm et} \qquad \lim_{n\rightarrow +\infty} {\cal L}\left(\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{S_c(X_{\bullet})}\right)={\cal N}(0\ ;\ 1), \]

où \({\cal N}(0\ ;\ 1)\) désigne la loi Normale standard. Les tests sont asymptotiques, nous supposerons donc que \(n\) est assez grand, au moins \(n\geq 50\), pour avoir une certaine «confiance» dans nos résultats.

Test 1a. Soit \(\mu_0\in{\mathbb R}\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Pour tester l’alternative :

ainsi que les autres Alternatives 1a, nous considérons le test asymptotique \(\psi^{(1a)}_{\infty}(x_{\bullet})=I_{\rbrack c\ ;\ +\infty\lbrack}(\overline{x})\), avec \( c=\mu_0+q_{1-\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) ; le nombre \(q_{1-\alpha}\) est le quantile d’ordre \(1-\alpha\) de la loi \({\cal N}(0\ ;\ 1)\), le nombre \(c\) peut être estimé par \(\widehat{c}(x_{\bullet})=\mu_0+q_{1-\alpha}\displaystyle\frac{S_c(x_{\bullet})}{\sqrt{n}}\). Ainsi :

Remarque 1. Si pour l’utilisateur décider à tort que la moyenne théorique d’une loi inconnue est plus grande qu’une valeur fixée a les conséquences les plus graves, c’est sur ce test \(\psi^{(1a)}_{\infty}(X_{\bullet})\) qu’il doit fonder sa démarche.

Propriété 1. Le test \(\psi^{(1a)}_{\infty}\) satisfait à :

Un calcul simple sur la f.r. de la loi Normale standard, l’appliquation du T.L.C. et les propriétés des convergences en probabilité pour \(S_c(X_{\bullet})\) et en loi pour \({\overline X}\), nous donnent ces résultats.\(\quad \square\)

Remarque 2. La \(p\)-valeur du test \(\psi^{(1a)}_{\infty}\) peut être estimée par \(p_{val}=1-\Phi\left(({\overline x}-\mu_0)\dfrac{\sqrt{n}}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\). Ainsi si \(p_{val} < \alpha\), nous décidons \({\cal H}_1^{(1a)}\) est vraie ; si \(p_{val} \geq \alpha\), nous décidons \({\cal H}_0^{(1a)}\) est vraie. Comme \(\overline X\) est estimateur sans biais et convergent de \(\mu\), la puissance a posteriori peut être estimée par \(pu_{\psi^{(1a)}_{\infty}}(\overline x)=1-\Phi\left(q_{1-\alpha}+(\mu_0-\overline{x})\dfrac{\sqrt{n}}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\).

Remarque 3. Pour réaliser le test \(\psi^{(1a)}_{\infty}\) nous avons créé dans R la procédure TestAsymH0MuInfMu0. Pour calculer une estimation de la puissance de ce test nous avons créé la procèdure PuisAsymH0MuInfMu0.

Test 1b. De manière analogue, pour ce qui est de l’alternative suivante :

et les autres Alternatives 1b, nous considérons le test asymptotique \(\psi^{(1b)}_{\infty}(x_{\bullet})=I_{\rbrack -\infty\ ;\ c\lbrack}(\overline{x})\), avec \(c=\mu_0+q_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) ; le nombre \(q_{\alpha}\) est le quantile d’ordre \(\alpha\) de la loi \({\cal N}(0\ ;\ 1)\) et le nombre \(c\) peut être estimé par \(\widehat{c}(x_{\bullet})=\mu_0+q_{\alpha}\dfrac{S_c(x_{\bullet})}{\sqrt{n}}\). Ainsi :

Remarque 4. Si pour l’utilisateur décider à tort que la moyenne théorique d’une loi inconnue est plus petite qu’une valeur fixée a les conséquences les plus graves, c’est sur ce test \(\psi^{(1b)}_{\infty}(X_{\bullet})\) qu’il doit fonder sa démarche.

Le test \(\psi^{(1b)}_{\infty}\) a les mêmes propriétés que le test \(\psi^{(1a)}_{\infty}\). Pour tout \(\mu < \mu_0\), sa puissance peut être estimée par \(pu_{\psi^{(1b)}_{\infty}}(\mu)=\Phi\left(q_{\alpha}+(\mu_0-\mu)\dfrac{\sqrt{n}}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\). La \(p\)-valeur peut être estimée par \(p_{val}=\Phi\left(({\overline x}-\mu_0)\dfrac{\sqrt{n}}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\) et la puissance a posteriori par \(pu_{\psi^{(1b)}_{\infty}}(\overline x)=\Phi\left(q_{\alpha}+(\mu_0-\overline{x})\dfrac{\sqrt{n}}{ S_c(x_{\bullet})}\right)\).

Remarque 5. Pour réaliser le test \(\psi^{(1b)}_{\infty}\) nous avons créé dans R la procédure TestAsymH0Mu0InfMu. Pour calculer une estimation de la puissance de ce test nous avons créé la procèdure PuisAsymH0Mu0InfMu.

Exemple 1. Nous considérons l’Exemple 4 des dosages d’une substance dans un échantillon de \(n=150\) flacons. Nous nous proposons de tester l’alternative :

Nous ne connaissons pas la loi de la v.a. \(X=\) «quantité de substance mesurée dans un flacon choisi au hasard dans la production». Nous utilisons le test asymptotique. Pour cela nous admettons que cette v.a. \(X\) admet une moyenne et une variance théoriques inconnues. Nous procédons avec R. Nous effectuons les calculs détaillés. Nous avons les caractéristiques suivantes :

mean(Donnees[,1]), réponse : 574.3167 et sd(Donnees[,1]), réponse : 3.039994.

Nous fixons le seuil à \(1\ \%\). Une estimation de la valeur critique est :

573+qnorm(1-0.01) * sd(Donnees[,1]) / sqrt( length(Donnees[,1])) , réponse : 573.5774

La moyenne observée est supérieure à l’estimation de la valeur critique ; nous décidons \({\cal H}_1^{(1a)}=\lbrace 573 < \mu \rbrace\) est vraie. Les mêmes résultats peuvent s’obtenir avec la procédure de la Remarque 3 ci-dessus. Après l’avoir compilée («sourcée»), nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_0=573\) et le seuil, \(\alpha=0,01\), à utiliser :

TestAsymH0MuInfMu0(Donnees[,1],573,0.01), réponse :
Test asymptotique de l’alternative : H0={ Mu ⩽ 573 } contre H1={ 573 < Mu }.
Taille de l’échantillon : 150 ; moyenne observée : 574.3267 ; écart type observé : 3.039994 .
Seuil asymptotique du test : 0.01 ; estimation valeur critique : 573.5774 .
Estimation de la p-valeur : 4.524862e-08 .

Décision : H1={ 573 < Mu } est vraie.

Le test est significatif, nous pouvons avoir confiance en notre décision. A noter que la puissance a posteriori ne s’affiche que si la moyenne observée est dans \({\cal H}_1^{(1a)}\) et si la décision est \({\cal H}_0^{(1a)}\) est vraie. Nous pouvons estimer la puissance de ce test au point \(\mu=574\) par exemple. Après avoir compilé («sourcée») la procédure correspondante de la Remarque 3 ci-dessus, nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_0=573,\ \mu=574\) et le seuil, \(\alpha=0,01\), à utiliser :

PuisAsymH0MuInfMu0(Donnees[,1],573,0.01,574), réponse : 0.9556622.

Nous pouvons également tracer le graphique de toute la fonction puissance asymptotique du test :

Fonction puissance de l’Exemple l.

Nous avons marqué en rouge les points de coordonnées \((\mu_0\ ;\ \alpha)=(573\ ;\ 0,01)\) et \((\overline{x}\ ;\ pu_{\psi^{(1a)}_{\infty}}(\overline{x}))=(574,3267\ ;\ 0,9987304)\). Cette dernière valeur a été obtenue avec la commande PuisAsymH0MuInfMu0(Donnees[,1],573,0.01,574.3267) ; réponse : 0.9987304. Nous constatons que le test est asymptotiquement de seuil \(0,01\) et sans biais. \(\quad \square\)

Test 2. Soit \(\mu_1, \mu_2\in{\mathbb R},\ \mu_1 < \mu_2\) et \(\alpha\in \rbrack 0\ ;\ 1\lbrack\) un seuil fixé. Pour tester l’Alternative 2 :

et les alternatives associées, nous considérons le test asymptotique \(\psi^{(2)}_{\infty}(x_{\bullet})=I_{\rbrack c_1\ ;\ c_2\lbrack}(\overline{x})\), où \(c_1=\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}-t_{\alpha}\) et \(c_2=\dfrac{\mu_1+\mu_2}{2}+t_{\alpha}\) avec \(t_{\alpha}\) solution de l’équation critique en \(t\) :

\[ g(t)=P_{{\cal N}(0\ ;\ 1)}\left( \frac{\mu_2-\mu_1-2t}{2\sigma}\sqrt{n} < Z < \frac{\mu_2-\mu_1+2t}{2\sigma}\sqrt{n}\right)=\Phi\left(\frac{\mu_2-\mu_1+2t}{2\sigma}\sqrt{n}\right)- \Phi\left(\frac{\mu_2-\mu_1-2t}{2\sigma}\sqrt{n}\right)=\alpha. \]

En estimant \(\sigma\) par \(S_c(x_{\bullet})\), nous obtenons des estimations \(\widehat{t}_{\alpha}(x_{\bullet}),\ \widehat{c}_1(x_{\bullet})\) et \(\widehat{c}_2(x_{\bullet})\) de \(t_{\alpha},\ c_1\) et \(c_2\) respectivement. La fonction \(\Phi\) est la f.r. de la loi Normale standard. Ainsi :

Remarque 6. Si pour l’utilisateur décider à tort que la moyenne théorique d’une loi inconnue est dans un intervalle fixé a les conséquences les plus graves, c’est sur ce test \(\psi^{(2)}_{\infty}(X_{\bullet})\) qu’il doit fonder sa démarche.

Remarque 7. L’étude de la fonction \(g(t)\) montre que la solution \(t_{\alpha}\) existe et elle est unique. Il en est de même pour son estimation.

Propriété 2. Le test \(\psi^{(2)}_{\infty}\) satisfait à :

La symétrie de la f.r. de la loi Normale standard, l’appliquation du T.L.C. et les propriétés des convergences en probabilité pour \(S_c(X_{\bullet})\) et en loi pour \({\overline X}\) nous donnent ces résultats.\(\quad \square\)

Remarque 8. Pour réaliser le test \(\psi^{(2)}_{\infty}\) nous avons créé dans R la procédure TestAsymH0MuNonMu1Mu2. Pour calculer une estimation de la puissance de ce test nous avons créé la procèdure PuisAsymH0MuNonMu1Mu2.

Exemple 2. Nous considérons l’Exemple 4 des dosages d’une substance dans un échantillon de \(n=150\) flacons. Nous nous proposons de tester l’alternative :

Nous ne connaissons pas la loi de la v.a. \(X\) «quantité de subtance mesurée dans un flacon choisi au hasard dans la production». Nous utilisons le test asymptotique. Pour cela nous admettons que cette v.a. \(X\) admet une moyenne et une variance théoriques inconnues. Nous utilisons la procédure de la Remarque 8. Après l’avoir compilée («sourcée») dans R, nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_1, \mu_2\) et le seuil, \(\alpha=0,01\), à utiliser :

TestAsymH0MuNonMu1Mu2(Donnees[,1],573,575,0.01), réponse :
Test asymptotique de l'alternative : H0={Mu ⩽ 573 ou 575 ⩽ Mu} contre H1={ 573 < Mu < 575 }.
Taille de l'échantillon : 150 ; moyenne observée : 574.3267 ; écart type observé : 3.039994 .
Seuil asymptotique du test : 0.01 ; solution de l'équation critique : 0.4226 .
Estimation des valeurs critiques : 573.5774 et 574.4226 .

Décision : H1 est vraie.

Le test est significatif ; le risque est inférieur à \(0,01\), nous faisons confiance à notre décision. A noter que la puissance a posteriori ne s’affiche que si la moyenne observée est dans \({\cal H}_1^{(2)}\) et si la décision est \({\cal H}_0^{(2)}\) est vraie. Nous pouvons estimer la puissance de ce test au point \(\mu=574.1\) par exemple. Après avoir compilé («sourcée») la procédure correspondante de la Remarque 7 ci-dessus, nous l’exécutons en indiquant les données à traiter, \(\mu_1=573,\ \mu_2=574\), le seuil \(\alpha=0,01\) et \(\mu=574.1\) :

PuisAsymH0MuNonMu1Mu2(Donnees[,1],573,574,0.01,574.3267), réponse : 0.6491157

Dans l’affichage des résultats du test nous indiquons une estimation de la solution de l’équation critique ; ceci peut être utile, par exemple, pour tracer une estimation du graphique de la fonction puissance. Voici sa partie essentielle.

Fonction puissance de l’Exemple 2.

Le test est asymptotiquement de seuil \(0,01\) et sans biais. Nous avons marqué en rouge les points de coordonnées \((\mu_1\ ;\ \alpha)=(573\ ;\ 0,01),\ (\mu_2\ ;\ \alpha)=(575\ ;\ 0,01)\) et \((\overline{x}\ ;\ pu_{\psi^{(2)}_{\infty}}(\overline{x}))=(574,3267\ ;\ 0,6491157)\). \(\quad \square\)

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